※ 引述《pennyleo (落日黄花)》之铭言： : 标题: [线代] 试证 hermitian矩阵具有此性质 : 时间: Tue May 3 20:14:26 2011 : : 考虑一N阶hermitian矩阵 : : : 试证 : 此hermitian矩阵 必定存在n个互为正交的eigenvector : : : 这个证明应该没有很难 : 但小弟的数学并不是很好 : 想请版上的朋友帮忙 : : 我前日问过这个证明的逆证明 : 我想要确定这个性质的充要条件 : : 谢谢 : : : -- :

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) : ◆ From: 134.208.23.94 : ※ 编辑: pennyleo 来自: 134.208.23.94 (05/03 20:17) : 推 scan33scan33:所以你要证明两个方向唷？ 05/03 20:24 : 推 sa12e3 :我记得刘?昌还是什麽名字 大学补教界名师的 线性代数 05/03 20:51 : → sa12e3 :前面就有~ 去图书馆找找~ 05/03 20:52 : → sa12e3 :没记错的话是这样 有错请见谅! 05/03 20:52 : 推 G41271 :线代课本就有了吧 05/03 20:53 : 推 scan33scan33:频谱定理:) 05/03 21:01 : 推 math1209 :Using Schur thm, it's a result of normal matrices 05/03 21:12 那我来顺一下证明好了。 Schur　分解：对所有 n*n的复数矩阵 A ，存在n*n　unitary矩阵Q，使得 A = QTQ* 其中 T　是上三角矩阵。 <证明> (数学归纳法) 当n = 1, Q = [1], Q* = [1], T = A　假设成立 假设n = k, 成立 当n = k+1, 因为 det(A - \lambda I)　by 代数基本定理必有一解， 所以 A有一个eigenvalue g　以及其 eiganvector v (normalized to unit length) 那存在U=[v u2 u3 ... un]是一个unitary matrix 且 span C^n 那 AU = [Av Au2 Au3 ... Aun] = [gv Au2 ... Aun] = U [ v w^T 0 B ] for some w and B. ( 因为B是k阶矩阵，所以by 数学归纳假设 B = VSV* for some unitary matrix V and some 上三角矩阵　S ) = U [ v w^T 0 VSV*] = U [0 0 [v w^T [0 0 0 V] 0 S ] 0 V*] ------- ------ Q T 所以选Q,T如上，在k+1的case也成立。 故得证 == 那看看　汉米尔顿矩阵： (当A=A*) By Schur分解：　 A = QUQ* for some Q unitary, U是上三角。 A* = QU*Q* AA = QU^2Q* AA* = QUQ*QU*Q = QUU*Q 所以，U=U* 因为U是上三角,又他的共轭转置就是他自己 ==> U是对角，而且其值都是实数 所以我们得到 A = QUQ*, 令U = diag(u1,u2,...,un) Q = [q1 q2 ... qn] 那 Aqi = QUQ*qi = Q [0 .. 0 ui 0 .. 0]^T = uqi. 这些qi都是eigenvector ui是eigenvalue 且他们正交。 得证. -- I'm CAT (Combinatorics, Analysis, and Topology) About Me : http://columbia.edu/~mt2767 想找程式或数学家教，还是发包程式案件吗？ http://w.csie.org/~b95028/parttime.php --

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