※ 引述《keroro321 (日夕)》之銘言： : Is it possible to construct a sequence {f_i} of continuous functions : such that ( f_i:|R—>|R ) : (i) f_i ≧ 0 for all i . : (ii) { x ∣ lim inf f_n(x) = ∞ } = Q ( all rational numbers in |R ) : n->∞ : 先感謝各位板友的回應 ! 答案是可以。 首先先改變題目 1. 可把(ii)中的liminf fn = 無限大 換成 lim fn = 0： 設gn 滿足改變後的題目，則取 fn = 1/(gn+1/n) 即可 2. 可把Q 變成 Z[1/2] = {a|a之二進位展開為有限小數}： 事實上，存在h：R→R，嚴格遞增連續使得 h(Q) = Z[1/2] (但是這個說明有點複雜，稍晚再寫) 開始證： 此時取函數r： 先定義在[0,1]上：r(0)=r(1)=0, r(x)=1, if 1/4<=x<=3/4，中間用直線連起來 再延拓為週期1的函數。此為連續函數。 注意到 r(x) = r({x}), {x}為x之小數部分 取fn(x) = r(2^n x) 則fn(x) = r({2^n x}) 若 x屬於 Z[1/2]，則{2^n x}終究會變成0，故 f_n(x) 極限為 0 若 x不屬於 Z[1/2]，記{x}之小數展開為0.x0 x1 x2.... (二進位，以下同) 則 {2^n x}= 0.xn x(n+1) ... 因為不是有限小數(當然也不可以騙人的1循環) 可以取到一列n→無限大，使得 xn=0, x(n+1)=1，或xn=1, x(n+1)=0 對於這樣的n, 0.01=1/4<={2^n x}<=3/4=0.11 因此對於這些n，fn(x)=1，從而不收斂到0 -- 代數幾何觀點！ Algebro-Geometrical Aspect! --

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