※ 引述《keroro321 (日夕)》之铭言： : Is it possible to construct a sequence {f_i} of continuous functions : such that ( f_i:|R—>|R ) : (i) f_i ≧ 0 for all i . : (ii) { x ∣ lim inf f_n(x) = ∞ } = Q ( all rational numbers in |R ) : n->∞ : 先感谢各位板友的回应 ! 答案是可以。 首先先改变题目 1. 可把(ii)中的liminf fn = 无限大 换成 lim fn = 0： 设gn 满足改变後的题目，则取 fn = 1/(gn+1/n) 即可 2. 可把Q 变成 Z[1/2] = {a|a之二进位展开为有限小数}： 事实上，存在h：R→R，严格递增连续使得 h(Q) = Z[1/2] (但是这个说明有点复杂，稍晚再写) 开始证： 此时取函数r： 先定义在[0,1]上：r(0)=r(1)=0, r(x)=1, if 1/4<=x<=3/4，中间用直线连起来 再延拓为周期1的函数。此为连续函数。 注意到 r(x) = r({x}), {x}为x之小数部分 取fn(x) = r(2^n x) 则fn(x) = r({2^n x}) 若 x属於 Z[1/2]，则{2^n x}终究会变成0，故 f_n(x) 极限为 0 若 x不属於 Z[1/2]，记{x}之小数展开为0.x0 x1 x2.... (二进位，以下同) 则 {2^n x}= 0.xn x(n+1) ... 因为不是有限小数(当然也不可以骗人的1循环) 可以取到一列n→无限大，使得 xn=0, x(n+1)=1，或xn=1, x(n+1)=0 对於这样的n, 0.01=1/4<={2^n x}<=3/4=0.11 因此对於这些n，fn(x)=1，从而不收敛到0 -- 代数几何观点！ Algebro-Geometrical Aspect! --

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