作者take99999 ( 沒有弧的世界)
看板Math
標題[機統] 兩個獨立高斯變數的四則運算
時間Thu Apr 28 11:42:57 2011
請問一下數學
我的問題是：
如果兩個independent variable x, y
然後各有各的高斯分布μx, σx, μy, σy
如果z=x+y時候，μz=μx+μy，μz = 根號[(σx)^2+(σy)^2]
那如果是z=x*y以及z=x/y時候，μz和σz各是多少？
因為我希望求得z=x並聯y時候[ z=(x*y)/(x+y) ]的μz和σz，
所以想分別求得 (x*y)的高斯分布，以及(x+y)的高斯分布，然後再將兩者相除
我找到z=x*y時候還會是高斯分布，z=x/y時候就變成另外一個分布Cauchy distribution
(from:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution
When X and Y are independent and have a Gaussian distribution with zero mean
the form of their ratio distribution is fairly simple: It is a Cauchy
distribution)
並且看到有兩個說法：
說法一：已知建立在x, y, z都是高斯變數的情況下 (而沒提到x, y 是否互相獨立)
如果z=x*y
σz = 根號 { [(σx)^2 * (σy)^2] / [(σx)^2 + (σy)^2] }
μz = [μx*(σy)^2 + μy*(σx)^2] / [(σx)^2 + (σy)^2]
來源：
https://people.ok.ubc.ca/jbobowsk/phys327/Gaussian%20Convolution.pdf
說法二：只說x, y是兩變數，而且未說是高斯分布，也未說是否互相獨立
a.如果z=x*y：
σz = 根號 [ (σx)^2 / (μx)^2 + (σy)^2 / (μy)^2 ]
而未說μz
b.如果z=x/y：
σz = (μx/μy)* { 根號 [ (σx)^2 / (μx)^2 + (σy)^2 / (μy)^2
- 2*Cov{x,y} / (μx)*(μy) ] }
來源：
http://www.radiation-scott.org/Standard%20Deviation%20for%20SumBOLD.doc
希望有人可以
a.從最廣義的x, y 是任意兩非高斯分布變數，然後列出怎麼得到
z=x+y, z=x*y, z=x/y的相關關係，
b.然後化簡或額外討論到x, y是兩高斯變數，
得到此情況下z=x+y, z=x*y, z=x/y的μ和σ
c.如果x, y是互相獨立的兩高斯變數，所對應到的z=x+y, z=x*y, z=x/y的μ和σ
d.如果在b.情況下, z=x/y不是高斯變數，那麼有其他辦法得到最原先的問題
z=x並聯y=(x*y)/(x+y)嘛?或者簡化過的近似解，謝謝
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◆ From: 210.80.67.18
※ 編輯: take99999 來自: 210.80.67.18 (04/28 11:44)
1F：→ yhliu :X*Y 不是 Gaussian, X/Y 與 Cauchy 有關, E[X/Y] 可 04/28 12:49
2F：→ yhliu :能不存在, 但是否必不存在未計算不敢定論. 04/28 12:49
3F：→ yhliu :若僅知 X,Y 的 marginal distributions 而無獨立性假 04/28 12:50
4F：→ take99999 :X*Y 不是 Gaussian? 那還可以有對應的μ和σ? 04/28 12:51
5F：→ yhliu :設, 則幾乎甚麼也不能談! 04/28 12:51
6F：→ take99999 :請問有關資訊可以看哪些書或文章嘛? 04/28 12:51
7F：→ yhliu :X, Y 獨立, 則 E[XY]=E[X]E[Y], 04/28 12:52
8F：→ yhliu :Var[XY]=E[X^2]E[Y^2]-(E[X]E[Y])^2. 04/28 12:53
9F：→ LITTLEN :delta method? 04/28 13:08
10F：→ yhliu :Y～Normal(Gaussian) ==> E[1/Y] 不存在. 04/28 16:56
11F：→ yhliu :故 X 與 Y 獨立, 則 E[X/Y] 不在在. 04/28 16:57
12F：推 puwawa :Y ~ N(mu, sigma^2),E(1/Y)以Cauchy主值的角度來看 04/28 22:58
13F：→ puwawa :是存在的，且有closed form 04/28 22:59
14F：→ yhliu :統計上計算期望值沒有人在管你 Cauchy 主值是多少. 04/29 00:05