作者take99999 ( 没有弧的世界)
看板Math
标题[机统] 两个独立高斯变数的四则运算
时间Thu Apr 28 11:42:57 2011
请问一下数学
我的问题是：
如果两个independent variable x, y
然後各有各的高斯分布μx, σx, μy, σy
如果z=x+y时候，μz=μx+μy，μz = 根号[(σx)^2+(σy)^2]
那如果是z=x*y以及z=x/y时候，μz和σz各是多少？
因为我希望求得z=x并联y时候[ z=(x*y)/(x+y) ]的μz和σz，
所以想分别求得 (x*y)的高斯分布，以及(x+y)的高斯分布，然後再将两者相除
我找到z=x*y时候还会是高斯分布，z=x/y时候就变成另外一个分布Cauchy distribution
(from:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution
When X and Y are independent and have a Gaussian distribution with zero mean
the form of their ratio distribution is fairly simple: It is a Cauchy
distribution)
并且看到有两个说法：
说法一：已知建立在x, y, z都是高斯变数的情况下 (而没提到x, y 是否互相独立)
如果z=x*y
σz = 根号 { [(σx)^2 * (σy)^2] / [(σx)^2 + (σy)^2] }
μz = [μx*(σy)^2 + μy*(σx)^2] / [(σx)^2 + (σy)^2]
来源：
https://people.ok.ubc.ca/jbobowsk/phys327/Gaussian%20Convolution.pdf
说法二：只说x, y是两变数，而且未说是高斯分布，也未说是否互相独立
a.如果z=x*y：
σz = 根号 [ (σx)^2 / (μx)^2 + (σy)^2 / (μy)^2 ]
而未说μz
b.如果z=x/y：
σz = (μx/μy)* { 根号 [ (σx)^2 / (μx)^2 + (σy)^2 / (μy)^2
- 2*Cov{x,y} / (μx)*(μy) ] }
来源：
http://www.radiation-scott.org/Standard%20Deviation%20for%20SumBOLD.doc
希望有人可以
a.从最广义的x, y 是任意两非高斯分布变数，然後列出怎麽得到
z=x+y, z=x*y, z=x/y的相关关系，
b.然後化简或额外讨论到x, y是两高斯变数，
得到此情况下z=x+y, z=x*y, z=x/y的μ和σ
c.如果x, y是互相独立的两高斯变数，所对应到的z=x+y, z=x*y, z=x/y的μ和σ
d.如果在b.情况下, z=x/y不是高斯变数，那麽有其他办法得到最原先的问题
z=x并联y=(x*y)/(x+y)嘛?或者简化过的近似解，谢谢
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◆ From: 210.80.67.18
※ 编辑: take99999 来自: 210.80.67.18 (04/28 11:44)
1F：→ yhliu :X*Y 不是 Gaussian, X/Y 与 Cauchy 有关, E[X/Y] 可 04/28 12:49
2F：→ yhliu :能不存在, 但是否必不存在未计算不敢定论. 04/28 12:49
3F：→ yhliu :若仅知 X,Y 的 marginal distributions 而无独立性假 04/28 12:50
4F：→ take99999 :X*Y 不是 Gaussian? 那还可以有对应的μ和σ? 04/28 12:51
5F：→ yhliu :设, 则几乎甚麽也不能谈! 04/28 12:51
6F：→ take99999 :请问有关资讯可以看哪些书或文章嘛? 04/28 12:51
7F：→ yhliu :X, Y 独立, 则 E[XY]=E[X]E[Y], 04/28 12:52
8F：→ yhliu :Var[XY]=E[X^2]E[Y^2]-(E[X]E[Y])^2. 04/28 12:53
9F：→ LITTLEN :delta method? 04/28 13:08
10F：→ yhliu :Y～Normal(Gaussian) ==> E[1/Y] 不存在. 04/28 16:56
11F：→ yhliu :故 X 与 Y 独立, 则 E[X/Y] 不在在. 04/28 16:57
12F：推 puwawa :Y ~ N(mu, sigma^2),E(1/Y)以Cauchy主值的角度来看 04/28 22:58
13F：→ puwawa :是存在的，且有closed form 04/28 22:59
14F：→ yhliu :统计上计算期望值没有人在管你 Cauchy 主值是多少. 04/29 00:05