最後一題 答案就是 1/(z^2 + 4) 在 2i這個simple pole的residue再乘上2*pi*i 而為什麼呢 完蛋了 我不會用這個畫圖拉= = 我試著用文字表達： 你畫一條x+y=1的線 然後以i為圓心 r為半徑畫一個半圓 而記住這半圓是傾斜45度的 如果不懂我在講啥 你就把x+y=1想成x軸 i想成原點 畫一個半徑為r的半圓 之後要幹嘛勒~~ 就是去求這個半圓的線積分(逆時針) 根據C.I.F 這個半圓的線積分就是2*pi*i*Res[1/(z^2+4);2i] = pi/2 而半圓的線積分是 (x+y=1沿著x正向的線積分)+(逆時針繞外圍半圈的線積分) 如果我能證明 當r飆到無限大時 後者的積分趨近於零 我就能說原積分收斂至pi/2 所以現在估計後者 你令z=i+re^it , -pi/4 =< t <= 3pi/4 所以後者的積分就會是 3pi/4 S ‧‧‧blabla -pi/4 你會發現分母的r比分子高一次 嚴格證明寫一寫就能說當r趨近於無限大時 這項是趨近於0 可是嚴格來說 你只能說pi/2是原題目所要的歌西主值(Principal value) 因為你是取特定的區間去求值的 可是瑕積分收斂是要用"任一方式"來逼近兩邊的無限大 所以要嚴謹來說 你還需要先證明原題目瑕積分是收斂的 --

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