作者vul3au3 (:))
看板Math
標題Re: [複變] 複變積分3題
時間Sun Apr 24 20:53:14 2011
※ 引述《vul3au3 (:))》之銘言：
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: ※ 引述《vul3au3 (:))》之銘言：
: : 標題: [複變] 複變積分3題
: : 時間: Sat Apr 23 10:41:02 2011
: : 希望有高手可以幫忙:非常感謝!
: : Problem # 1
: : If C is simple closed curve enclosing a region of area A, prove that
: : _
: : A = (1/2i)∮z dz
: : C
: : Use this to evaluate the integral when C is the circle │z-2│= 3.
: 應該自己會導 if f = u+iv , u,v€C1 , C is simple closed curve
: pf
: then ∮ fdz = 2i∫∫ ──── dz , where p is partial derivative
: C A p(zbar)
: take f=zbar , done
: and when C is the circle │z-2│= 3
: A = 9pi^2 , so ~ done
第一題代入的circle C沒問題，
但是，我導Green Theorem會卡住。
證明的部分如果這樣寫可以嗎?
z=r*e^iθ
dz=r*i*(e^iθ)dθ
_
z=r*e^-iθ
1 _ 1
─∮z dz = ─∮r*(e^-iθ)*r*i*(e^iθ)dθ
2i C 2i
= pi*r^2 (證明結束，pi*r^2可以當作area A嗎?)
For C:│z-2│= 3
z=3*(e^iθ)+2
dz=3*i*(e^iθ)dθ
z=3*(e^-iθ)+2
1 _ 1
─∮z dz = ─∮[3*(e^-iθ)+2]*[3*i*(e^iθ)dθ]
2i C 2i
= 9pi (答案)
-------------------------------------------------------------
Problem # 3
evaluate
dz
∫ ─────
C z^2 + 4
along the line x + y = 1 in the direction of x increasing.
: 題目是要求通式??
: 沒給起點跟終點
: 而且在i那點會爆點
這題的解答是pi/2，但不知道怎麼下手。希望有高手可以幫忙，非常謝謝。
※ 編輯: vul3au3 來自: 209.189.246.113 (04/24 20:56)
1F：→ keroro321 :先算 原點 沿著 x + y = 1 的積分值 (x>0), 計算如下 04/24 21:25
2F：→ keroro321 :取路徑沿著 x + y = 1 畫個扇型 路線到 正實軸 - 04/24 21:25
3F：→ keroro321 :再由正實軸回到原點 .(下方扇型) 04/24 21:25
4F：→ keroro321 :當半徑越大,弧形部分的積分在這是趨於0 04/24 21:26
5F：→ keroro321 :由Cauchy theorem 知道 要求的積分 等於從 04/24 21:26
6F：→ keroro321 :原本的函數在正實軸[0,∞) 的積分 04/24 21:26
7F：→ vul3au3 :謝謝，我再研究看看。 04/24 21:40
8F：→ keroro321 :也可以用Residue Theorem 下面有文章回應到 04/24 22:00
9F：→ keroro321 :看你覺得什麼好用,1/(z^2+4) 在∞行為 是很好的 04/24 22:01