作者vul3au3 (:))
看板Math
标题Re: [复变] 复变积分3题
时间Sun Apr 24 20:53:14 2011
※ 引述《vul3au3 (:))》之铭言：
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言：
: ※ 引述《vul3au3 (:))》之铭言：
: : 标题: [复变] 复变积分3题
: : 时间: Sat Apr 23 10:41:02 2011
: : 希望有高手可以帮忙:非常感谢!
: : Problem # 1
: : If C is simple closed curve enclosing a region of area A, prove that
: : _
: : A = (1/2i)∮z dz
: : C
: : Use this to evaluate the integral when C is the circle │z-2│= 3.
: 应该自己会导 if f = u+iv , u,v€C1 , C is simple closed curve
: pf
: then ∮ fdz = 2i∫∫ ──── dz , where p is partial derivative
: C A p(zbar)
: take f=zbar , done
: and when C is the circle │z-2│= 3
: A = 9pi^2 , so ~ done
第一题代入的circle C没问题，
但是，我导Green Theorem会卡住。
证明的部分如果这样写可以吗?
z=r*e^iθ
dz=r*i*(e^iθ)dθ
_
z=r*e^-iθ
1 _ 1
─∮z dz = ─∮r*(e^-iθ)*r*i*(e^iθ)dθ
2i C 2i
= pi*r^2 (证明结束，pi*r^2可以当作area A吗?)
For C:│z-2│= 3
z=3*(e^iθ)+2
dz=3*i*(e^iθ)dθ
z=3*(e^-iθ)+2
1 _ 1
─∮z dz = ─∮[3*(e^-iθ)+2]*[3*i*(e^iθ)dθ]
2i C 2i
= 9pi (答案)
-------------------------------------------------------------
Problem # 3
evaluate
dz
∫ ─────
C z^2 + 4
along the line x + y = 1 in the direction of x increasing.
: 题目是要求通式??
: 没给起点跟终点
: 而且在i那点会爆点
这题的解答是pi/2，但不知道怎麽下手。希望有高手可以帮忙，非常谢谢。
※ 编辑: vul3au3 来自: 209.189.246.113 (04/24 20:56)
1F：→ keroro321 :先算 原点 沿着 x + y = 1 的积分值 (x>0), 计算如下 04/24 21:25
2F：→ keroro321 :取路径沿着 x + y = 1 画个扇型 路线到 正实轴 - 04/24 21:25
3F：→ keroro321 :再由正实轴回到原点 .(下方扇型) 04/24 21:25
4F：→ keroro321 :当半径越大,弧形部分的积分在这是趋於0 04/24 21:26
5F：→ keroro321 :由Cauchy theorem 知道 要求的积分 等於从 04/24 21:26
6F：→ keroro321 :原本的函数在正实轴[0,∞) 的积分 04/24 21:26
7F：→ vul3au3 :谢谢，我再研究看看。 04/24 21:40
8F：→ keroro321 :也可以用Residue Theorem 下面有文章回应到 04/24 22:00
9F：→ keroro321 :看你觉得什麽好用,1/(z^2+4) 在∞行为 是很好的 04/24 22:01