作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
標題Re: [數值]高斯積分法的推導
時間Sun Apr 24 18:08:53 2011
※ 引述《drinks9216 (drinks)》之銘言：
: w_1 + w_2 = 2
: w_1(x_1) + w_2(x_2) = 0
: w_1(x_1)^2 + w_2(x_2)^2 = 2/3
: w_1(x_1)^3 + w_2(x_2)^3 = 0
: Ans : w_1 = 1 , w_2 = 1 , x_1 = －√(3) / 3 , x_2 = √(3) / 3
: 此方程式是怎麼解的 ?
基於遞迴數列的一些性質
可以有一個挺漂亮的一般解法
為了方便，我叫 x_1 作 x，x_2 作 y
令 a_n = w_1*x^n + w_2*y^n
知道這是一個遞迴關係 a_(n+2) - (x+y)*a_(n+1) + xy*a_n = 0 的解
因為 a_0 = 2, a_1 = 0, a_2 = 2/3, a_3 = 0
所以 xy=-1/3, x+y=0
解一元二次方可得 x,y
代回去就可以得到兩個 w
關於這個普適做法的好處是：項數多了也不會慌了手腳
例如有三個 w、三個 x 的時候我們應該需要六條方程式
這是很複雜的聯立方程組
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.248.1.164
1F：推 jacky7987 :不過基於使用數值的方法,反正丟給電腦算也蠻快的XD 04/24 18:11
2F：→ jacky7987 :不過怎麼看出這個遞迴的呢? 04/24 18:11
3F：→ Vulpix :因為那個遞迴式的一般解就是 w_1*x^n + w_2*y^n 04/24 18:14
4F：→ Vulpix :這種形式啊^^ 所以需要「一些認識」 04/24 18:14
5F：推 jacky7987 :哈哈好吧XDDD 04/24 18:16
※ 編輯: Vulpix 來自: 111.248.1.164 (04/24 18:18)
6F：→ Vulpix :當然還是有缺點：要解多項方程式，即使是電腦也 04/24 18:20
7F：→ Vulpix :解得不是很好，何況是人…… 04/24 18:21
8F：推 drinks9216 :解好快 !!!! 為何 xy=-1/3 和 x+y=0 ? 前輩是否可以 04/24 18:21
9F：→ drinks9216 :解釋細一點 ? 感謝 <(__)> 04/24 18:21
10F：→ Vulpix :把 n=0,1 代入遞迴式即可 04/24 18:30
11F：推 jacky7987 :我所學的解gauss-Legendre的是解矩陣 04/24 18:35
12F：→ jacky7987 :不過數值誤差多大我就不知道了D 04/24 18:36
13F：推 drinks9216 :不好意思 可以在問一下嗎 ? 04/24 18:37
14F：→ Vulpix :問題是在於解Legendre poly.的根，這個不一定好辦 04/24 18:38
15F：→ Vulpix :然後解矩陣是之後在解權重 w 的時候 04/24 18:39
16F：→ Vulpix :請說^^ 04/24 18:40
17F：推 drinks9216 :遞迴關係式 a_(n+2)-.... 中的-(x+y) 和 xy 是怎麼 04/24 18:42
18F：→ drinks9216 :得出的 ?? 感謝 <(__)> 04/24 18:43
19F：→ Vulpix :那是根與係數的關係 04/24 18:43
20F：推 jacky7987 :因為我都用matlab的root函式XDDD 04/24 18:49
21F：→ drinks9216 :恩恩 係數不太懂怎麼得來的 ? 還是有固定的公式 ? 04/24 18:49
22F：→ drinks9216 :感謝前輩熱心回應 <(__)> 04/24 18:50
23F：→ Vulpix :詳細的公式請找一些「線性遞迴關係」的資料 04/24 18:57
24F：推 drinks9216 :真的很不好意思啦一直問問題 感謝前輩熱心回應<(__)> 04/24 19:07