作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [数值]高斯积分法的推导
时间Sun Apr 24 18:08:53 2011
※ 引述《drinks9216 (drinks)》之铭言：
: w_1 + w_2 = 2
: w_1(x_1) + w_2(x_2) = 0
: w_1(x_1)^2 + w_2(x_2)^2 = 2/3
: w_1(x_1)^3 + w_2(x_2)^3 = 0
: Ans : w_1 = 1 , w_2 = 1 , x_1 = －√(3) / 3 , x_2 = √(3) / 3
: 此方程式是怎麽解的 ?
基於递回数列的一些性质
可以有一个挺漂亮的一般解法
为了方便，我叫 x_1 作 x，x_2 作 y
令 a_n = w_1*x^n + w_2*y^n
知道这是一个递回关系 a_(n+2) - (x+y)*a_(n+1) + xy*a_n = 0 的解
因为 a_0 = 2, a_1 = 0, a_2 = 2/3, a_3 = 0
所以 xy=-1/3, x+y=0
解一元二次方可得 x,y
代回去就可以得到两个 w
关於这个普适做法的好处是：项数多了也不会慌了手脚
例如有三个 w、三个 x 的时候我们应该需要六条方程式
这是很复杂的联立方程组
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 111.248.1.164
1F：推 jacky7987 :不过基於使用数值的方法,反正丢给电脑算也蛮快的XD 04/24 18:11
2F：→ jacky7987 :不过怎麽看出这个递回的呢? 04/24 18:11
3F：→ Vulpix :因为那个递回式的一般解就是 w_1*x^n + w_2*y^n 04/24 18:14
4F：→ Vulpix :这种形式啊^^ 所以需要「一些认识」 04/24 18:14
5F：推 jacky7987 :哈哈好吧XDDD 04/24 18:16
※ 编辑: Vulpix 来自: 111.248.1.164 (04/24 18:18)
6F：→ Vulpix :当然还是有缺点：要解多项方程式，即使是电脑也 04/24 18:20
7F：→ Vulpix :解得不是很好，何况是人…… 04/24 18:21
8F：推 drinks9216 :解好快 !!!! 为何 xy=-1/3 和 x+y=0 ? 前辈是否可以 04/24 18:21
9F：→ drinks9216 :解释细一点 ? 感谢 <(__)> 04/24 18:21
10F：→ Vulpix :把 n=0,1 代入递回式即可 04/24 18:30
11F：推 jacky7987 :我所学的解gauss-Legendre的是解矩阵 04/24 18:35
12F：→ jacky7987 :不过数值误差多大我就不知道了D 04/24 18:36
13F：推 drinks9216 :不好意思 可以在问一下吗 ? 04/24 18:37
14F：→ Vulpix :问题是在於解Legendre poly.的根，这个不一定好办 04/24 18:38
15F：→ Vulpix :然後解矩阵是之後在解权重 w 的时候 04/24 18:39
16F：→ Vulpix :请说^^ 04/24 18:40
17F：推 drinks9216 :递回关系式 a_(n+2)-.... 中的-(x+y) 和 xy 是怎麽 04/24 18:42
18F：→ drinks9216 :得出的 ?? 感谢 <(__)> 04/24 18:43
19F：→ Vulpix :那是根与系数的关系 04/24 18:43
20F：推 jacky7987 :因为我都用matlab的root函式XDDD 04/24 18:49
21F：→ drinks9216 :恩恩 系数不太懂怎麽得来的 ? 还是有固定的公式 ? 04/24 18:49
22F：→ drinks9216 :感谢前辈热心回应 <(__)> 04/24 18:50
23F：→ Vulpix :详细的公式请找一些「线性递回关系」的资料 04/24 18:57
24F：推 drinks9216 :真的很不好意思啦一直问问题 感谢前辈热心回应<(__)> 04/24 19:07