作者Foreverjump (浪子傳說)
看板Math
標題Re: [中學] 一題數學競賽題
時間Fri Apr 22 00:24:19 2011
※ 引述《sales12345 (111)》之銘言：
: 請問各位大大此題如何求解? 謝謝
: A(0,0),B(0,4)均在圓 (x-2)^2+(y-2)^2=8上. M為圓上動點, 過BM中點作出
: AM的垂線,垂足為P, 求P的軌跡方程式為 x^2+y^2-2x-4y=0
: 此題是師大附中競賽題目
※ 引述《sales12345 (111)》之銘言：
: 請問各位大大此題如何求解? 謝謝
: A(0,0),B(0,4)均在圓 (x-2)^2+(y-2)^2=8上. M為圓上動點, 過BM中點作出
: AM的垂線,垂足為P, 求P的軌跡方程式為 x^2+y^2-2x-4y=0
: 此題是師大附中競賽題目
我是利用垂直内積為零 加上一些觀察 得到答案
我觀察到當點M在(4,0)時，垂足P恰好在(2,0)
M在(4,4)時，垂足P恰好在(3,3)
所以 假設動點M(2+2√2cosα,2+2√2sinα) B(0,4)
則BM中點為(1+√2cosα,3+√2sinα)
再假設垂足P(x ,y)
則向量AP‧向量MP=0
向量AP=(x,y)
向量MP=(x-(1+√2cosα),y-(3+√2sinα))
即(x-(1+√2cosα),y-(3+√2sinα))‧(x,y)=0
得到 P軌跡：x^2-x(1+√2cosα)+y^2-y(3+√2sinα)=0
又從前面觀察得到此軌跡通過(2,0)代入 (3,3)代入
(2,0)代入 得4-2(1+√2cosα)+0+0=0
√2cosα=2 cosα=1/√2
(3,3)代入 得9-3(1+1)+9-3(3+√2sinα)=0
12=3(3+√2sinα) sinα=1/√2
代回軌跡 得到x^2+y^2-2x-4y=0
有一點偷吃步的作法 不是十分正統
請多指教
※ 引述《sales12345 (111)》之銘言：
: 請問各位大大此題如何求解? 謝謝
: A(0,0),B(0,4)均在圓 (x-2)^2+(y-2)^2=8上. M為圓上動點, 過BM中點作出
: AM的垂線,垂足為P, 求P的軌跡方程式為 x^2+y^2-2x-4y=0
: 此題是師大附中競賽題目
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