作者Foreverjump (浪子传说)
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标题Re: [中学] 一题数学竞赛题
时间Fri Apr 22 00:24:19 2011
※ 引述《sales12345 (111)》之铭言：
: 请问各位大大此题如何求解? 谢谢
: A(0,0),B(0,4)均在圆 (x-2)^2+(y-2)^2=8上. M为圆上动点, 过BM中点作出
: AM的垂线,垂足为P, 求P的轨迹方程式为 x^2+y^2-2x-4y=0
: 此题是师大附中竞赛题目
※ 引述《sales12345 (111)》之铭言：
: 请问各位大大此题如何求解? 谢谢
: A(0,0),B(0,4)均在圆 (x-2)^2+(y-2)^2=8上. M为圆上动点, 过BM中点作出
: AM的垂线,垂足为P, 求P的轨迹方程式为 x^2+y^2-2x-4y=0
: 此题是师大附中竞赛题目
我是利用垂直内积为零 加上一些观察 得到答案
我观察到当点M在(4,0)时，垂足P恰好在(2,0)
M在(4,4)时，垂足P恰好在(3,3)
所以 假设动点M(2+2√2cosα,2+2√2sinα) B(0,4)
则BM中点为(1+√2cosα,3+√2sinα)
再假设垂足P(x ,y)
则向量AP‧向量MP=0
向量AP=(x,y)
向量MP=(x-(1+√2cosα),y-(3+√2sinα))
即(x-(1+√2cosα),y-(3+√2sinα))‧(x,y)=0
得到 P轨迹：x^2-x(1+√2cosα)+y^2-y(3+√2sinα)=0
又从前面观察得到此轨迹通过(2,0)代入 (3,3)代入
(2,0)代入 得4-2(1+√2cosα)+0+0=0
√2cosα=2 cosα=1/√2
(3,3)代入 得9-3(1+1)+9-3(3+√2sinα)=0
12=3(3+√2sinα) sinα=1/√2
代回轨迹 得到x^2+y^2-2x-4y=0
有一点偷吃步的作法 不是十分正统
请多指教
※ 引述《sales12345 (111)》之铭言：
: 请问各位大大此题如何求解? 谢谢
: A(0,0),B(0,4)均在圆 (x-2)^2+(y-2)^2=8上. M为圆上动点, 过BM中点作出
: AM的垂线,垂足为P, 求P的轨迹方程式为 x^2+y^2-2x-4y=0
: 此题是师大附中竞赛题目
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