作者JohnMash (Paul)
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標題Re: [中學] 一題數學競賽題
時間Wed Apr 20 08:20:26 2011
※ 引述《sales12345 (111)》之銘言：
: 請問各位大大此題如何求解? 謝謝
: A(0,0),B(0,4)均在圓 (x-2)^2+(y-2)^2=8上. M為圓上動點, 過BM中點作出
: AM的垂線,垂足為P, 求P的軌跡方程式為 x^2+y^2-2x-4y=0
: 此題是師大附中競賽題目
Let P(u,v), M(x,y), A(0,0), B(0,4)
K為BM中點
以下為向量表示
MP=(MK.MA)/(MA.MA) MA
2MP=(MB.MA)/(MA.MA) MA............(1)
令 AM=kAP
PM=(k-1)AP=(k-1)/k AM
2PM=2(k-1)/k AM................(2)
由(1),(2)可知
(MB.MA)/(MA.MA)=2(k-1)/k.........(3)
MB=MA+AB=-kAP+AB
MA=-kAP
MB.MA=k^2AP.AP-kAB.AP=k^2(u^2+v^2)-k(0,4).(u,v).......(4)
MA.MA=k^2AP.AP=k^2(u^2+v^2).........(5)
由(3),(4),(5)可知
[k(u^2+v^2)-4v]/[k(u^2+v^2)]=2(k-1)/k
[k(u^2+v^2)-4v]=2(k-1)(u^2+v^2)
(k-2)(u^2+v^2)+4v=0................(6)
但 ku=x,kv=y
(ku-2)^2+(kv-2)^2=8
k(u^2+v^2)-4(u+v)=0..................(7)
(7)-(6)得
2(u^2+v^2)-4(u+v)-4v=0
u^2+v^2-2u-4v=0
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◆ From: 112.104.91.68
※ 編輯: JohnMash 來自: 112.104.91.68 (04/20 09:02)
1F：推 sales12345 :謝謝J大,這題想好久了 04/20 17:59