作者JohnMash (Paul)
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标题Re: [中学] 一题数学竞赛题
时间Wed Apr 20 08:20:26 2011
※ 引述《sales12345 (111)》之铭言：
: 请问各位大大此题如何求解? 谢谢
: A(0,0),B(0,4)均在圆 (x-2)^2+(y-2)^2=8上. M为圆上动点, 过BM中点作出
: AM的垂线,垂足为P, 求P的轨迹方程式为 x^2+y^2-2x-4y=0
: 此题是师大附中竞赛题目
Let P(u,v), M(x,y), A(0,0), B(0,4)
K为BM中点
以下为向量表示
MP=(MK.MA)/(MA.MA) MA
2MP=(MB.MA)/(MA.MA) MA............(1)
令 AM=kAP
PM=(k-1)AP=(k-1)/k AM
2PM=2(k-1)/k AM................(2)
由(1),(2)可知
(MB.MA)/(MA.MA)=2(k-1)/k.........(3)
MB=MA+AB=-kAP+AB
MA=-kAP
MB.MA=k^2AP.AP-kAB.AP=k^2(u^2+v^2)-k(0,4).(u,v).......(4)
MA.MA=k^2AP.AP=k^2(u^2+v^2).........(5)
由(3),(4),(5)可知
[k(u^2+v^2)-4v]/[k(u^2+v^2)]=2(k-1)/k
[k(u^2+v^2)-4v]=2(k-1)(u^2+v^2)
(k-2)(u^2+v^2)+4v=0................(6)
但 ku=x,kv=y
(ku-2)^2+(kv-2)^2=8
k(u^2+v^2)-4(u+v)=0..................(7)
(7)-(6)得
2(u^2+v^2)-4(u+v)-4v=0
u^2+v^2-2u-4v=0
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◆ From: 112.104.91.68
※ 编辑: JohnMash 来自: 112.104.91.68 (04/20 09:02)
1F：推 sales12345 :谢谢J大,这题想好久了 04/20 17:59