作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
標題Re: [其他] ÷, /,分式的差異
時間Sun Apr 17 22:42:23 2011
要打的太多只好回文了
: → simonjen :我無聊去翻了一下線性代數(F的) 發現到polynomial是 04/17 20:41
: → simonjen :有定義對應關係的 04/17 20:41
: → simonjen :也就是說 polynomial就是一個函數形式 04/17 20:42
: → simonjen :若是這樣怎麼不當成一個函數來看??!! 04/17 20:43
我也去翻了一下
在第十頁寫到，常將多項式視為函數看待
所以其實可以不必把它們當函數看待
但是仍然可以定義所謂的 evaluation homomorphism on A[x]
前提是 A 是一個交換環
而且這個 homo. 仍然可以規定使得 (x^2-1)/(x-1) 在 1 「取值」是 2
注意不一定要真的有代值，而是硬性規定一個 evaluation homomorphism
或者說成在 A(x) 的一個 equivalence class 中隨便挑一個能代值的來代
例如說 (x^3+x^2)/x^2
（不過這邊的前提就是 A 是一個 field，
如果 A 只是 integral domain 的話，要用 Quot(A[x]) 取代 A(x)）
: → Vulpix :那是當成一個函數來看待的時候，但也可以不要這樣看 04/17 20:49
: → simonjen :那是不是應該用個別的東西來替代不這麼看的名稱 04/17 21:06
: → simonjen :不然大家說的多項式都是自己的看法 那定義合用?! 04/17 21:06
實際的情況是：多項式是寫下來的那一串「形式」
反而將多項式視為函數而稱之為多項式函數
這個才是與定義無關的部份
（當然我也知道多項式被定義出來就是想要拿來當函數用
但是這個初衷有的時候是個包袱而須要調整）
所以如果真的要用個別的東西來替代不這麼看的名稱
應該退讓的是函數的觀點
但這個觀點實在太常用所以大家不忍心用另一個名詞來區隔
或者說，反正區隔了也還是會有人這樣使用
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.248.6.243
※ 編輯: Vulpix 來自: 111.248.6.243 (04/17 22:47)
1F：→ simonjen :其實我是在第9頁看到的 也沒有看到"常用" 04/17 23:21
2F：→ simonjen :可能我們看的是不同的書吧 >.< 04/17 23:22
我看的是 Friedberg/Insel/Spence 的 L.A. 國際版 4ed
這本的第9頁並沒有提到多項式是函數
如果把 g(x) = x, x^2, x^3, ... 都看成 Z/2Z 的函數
那他們都是這個函數：g(0)=0, g(1)=1
以上不同的多項式，卻是同一個函數
所以用函數的方式定義多項式顯然有問題
3F：→ simonjen :再說若是允許/x這樣的一個符號出現 那麼他的deg定義 04/17 23:25
4F：→ simonjen :甚麼 ??!! 04/17 23:25
5F：→ simonjen :或許有其他的方式可以來同構這一個環結構 不過我覺得 04/17 23:27
6F：→ simonjen :原本該有的名詞本就不該濫用 不然大家討論起來就沒個 04/17 23:28
7F：→ simonjen :基準方式 04/17 23:28
請允許我修正說法：並不是沒有用另一個名詞來區隔，而是有這麼做
例如我的文章中出現多次的「多項式函數」
其實我原本的想法很簡單……
|R[x] → |R(x) 這個 canonical embedding 的 image 就是多項式環
其中所有的元素都稱為多項式
※ 編輯: Vulpix 來自: 111.248.6.243 (04/18 00:12)
8F：→ simonjen :跟我同一本ㄟ 我看到的定義在例子3裡面 04/18 00:17
9F：推 peicachu :哪泥，我的是3th Edition, 我老了嗎... 04/18 00:23
10F：→ simonjen :其實我看不太懂你說的有問題是在哪裡??!! 04/18 00:28
11F：推 peicachu :When F is a field containing an infinite number 04/18 00:33
12F：→ peicachu :of elements, we usually regard a polynomial with 04/18 00:33
13F：→ simonjen :在定義裡面 你舉的那一些都是同一個多項式 04/18 00:34
14F：→ peicachu :coefficients from F as a function from F to F. 04/18 00:34
15F：→ simonjen :恩~~~好像有點知道你想說甚麼 04/18 00:40
16F：→ simonjen :在多項式的定義裡面並沒有提及x是個怎樣的東西 04/18 00:44
17F：→ simonjen :也定義了甚麼是多項式的相等 也和x無關 04/18 00:45
18F：→ simonjen :所以他映出來是甚麼 也和這一個是不是多項式無關 04/18 00:46
19F：→ simonjen :不過這和多項式是函數 應該無相關 04/18 00:53
20F：→ simonjen :也就是說 在定義裡面 函數包含了 多項式 04/18 00:54
21F：→ simonjen :卻不成立相等關係 就像是cosx是函數 卻不是多項式 04/18 00:55
22F：→ simonjen :像是 1 - cos(x*(pi/2)) 和 sin(x*(pi/2)) 用相同的 04/18 01:03
23F：→ simonjen :定義x的方式 不是0就是1 04/18 01:03
24F：→ simonjen :令g(x) = 1 - cos(x*(pi/2)) f(x)= sin(x*(pi/2)) 04/18 01:05
25F：→ simonjen :g(0) = 0 = f(0) 且 g(1) = 1 = f(1) 04/18 01:06
26F：→ simonjen :所以用函數的方式來看 sin cos 是不對的?? 04/18 01:07
27F：→ Vulpix :先就樓上這個例子說：此處定義域只有{0,1} 04/18 01:45
28F：→ Vulpix :這兩個函數表示法沒有任何差異，甚至跟h(x)=x也分不 04/18 01:47
29F：→ simonjen :原po的例子 也是相同的定義域 04/18 01:47
30F：→ Vulpix :出差異。所以可說f,g都是多項式函數。 04/18 01:48
31F：→ simonjen :??!!! 是這樣嗎??!! 04/18 01:49
32F：→ Vulpix :畢竟他們跟h這個函數根本就是同一個函數啊 04/18 01:51
33F：→ Vulpix :既然h是多項式函數，那f,g當然也是 04/18 01:51
34F：→ simonjen :白馬是馬 黑馬是馬 白馬 = 黑馬??!! 04/18 01:53
35F：→ Vulpix :別這麼說，白馬非馬的那個「是」不是「=」。 04/18 01:58
36F：→ simonjen :是屬於 所以我有用 = 號這一個符號來區分是 04/18 02:02
37F：→ Vulpix :只是說f,g,h是多項式函數有點沒意思 通常所謂多項式 04/18 10:44
38F：→ Vulpix :函數會在一個affine space上談，或者說最簡單的case 04/18 10:45
39F：→ Vulpix :一個field（當然多項式的係數域會隨著不同的affine 04/18 10:46
40F：→ Vulpix :space調整） 04/18 10:46
41F：→ Vulpix :所以我才用 Z/2Z 這個 field 舉例 04/18 10:47
42F：→ Vulpix :另外，跟白馬非馬不一樣的地方是：f=g=h是多項式函數 04/18 10:48
43F：→ Vulpix :所謂多項式函數，是可以被多項式表示的函數。 04/18 10:58