作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [其他] ÷, /,分式的差异
时间Sun Apr 17 22:42:23 2011
要打的太多只好回文了
: → simonjen :我无聊去翻了一下线性代数(F的) 发现到polynomial是 04/17 20:41
: → simonjen :有定义对应关系的 04/17 20:41
: → simonjen :也就是说 polynomial就是一个函数形式 04/17 20:42
: → simonjen :若是这样怎麽不当成一个函数来看??!! 04/17 20:43
我也去翻了一下
在第十页写到，常将多项式视为函数看待
所以其实可以不必把它们当函数看待
但是仍然可以定义所谓的 evaluation homomorphism on A[x]
前提是 A 是一个交换环
而且这个 homo. 仍然可以规定使得 (x^2-1)/(x-1) 在 1 「取值」是 2
注意不一定要真的有代值，而是硬性规定一个 evaluation homomorphism
或者说成在 A(x) 的一个 equivalence class 中随便挑一个能代值的来代
例如说 (x^3+x^2)/x^2
（不过这边的前提就是 A 是一个 field，
如果 A 只是 integral domain 的话，要用 Quot(A[x]) 取代 A(x)）
: → Vulpix :那是当成一个函数来看待的时候，但也可以不要这样看 04/17 20:49
: → simonjen :那是不是应该用个别的东西来替代不这麽看的名称 04/17 21:06
: → simonjen :不然大家说的多项式都是自己的看法 那定义合用?! 04/17 21:06
实际的情况是：多项式是写下来的那一串「形式」
反而将多项式视为函数而称之为多项式函数
这个才是与定义无关的部份
（当然我也知道多项式被定义出来就是想要拿来当函数用
但是这个初衷有的时候是个包袱而须要调整）
所以如果真的要用个别的东西来替代不这麽看的名称
应该退让的是函数的观点
但这个观点实在太常用所以大家不忍心用另一个名词来区隔
或者说，反正区隔了也还是会有人这样使用
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 111.248.6.243
※ 编辑: Vulpix 来自: 111.248.6.243 (04/17 22:47)
1F：→ simonjen :其实我是在第9页看到的 也没有看到"常用" 04/17 23:21
2F：→ simonjen :可能我们看的是不同的书吧 >.< 04/17 23:22
我看的是 Friedberg/Insel/Spence 的 L.A. 国际版 4ed
这本的第9页并没有提到多项式是函数
如果把 g(x) = x, x^2, x^3, ... 都看成 Z/2Z 的函数
那他们都是这个函数：g(0)=0, g(1)=1
以上不同的多项式，却是同一个函数
所以用函数的方式定义多项式显然有问题
3F：→ simonjen :再说若是允许/x这样的一个符号出现 那麽他的deg定义 04/17 23:25
4F：→ simonjen :甚麽 ??!! 04/17 23:25
5F：→ simonjen :或许有其他的方式可以来同构这一个环结构 不过我觉得 04/17 23:27
6F：→ simonjen :原本该有的名词本就不该滥用 不然大家讨论起来就没个 04/17 23:28
7F：→ simonjen :基准方式 04/17 23:28
请允许我修正说法：并不是没有用另一个名词来区隔，而是有这麽做
例如我的文章中出现多次的「多项式函数」
其实我原本的想法很简单……
|R[x] → |R(x) 这个 canonical embedding 的 image 就是多项式环
其中所有的元素都称为多项式
※ 编辑: Vulpix 来自: 111.248.6.243 (04/18 00:12)
8F：→ simonjen :跟我同一本ㄟ 我看到的定义在例子3里面 04/18 00:17
9F：推 peicachu :哪泥，我的是3th Edition, 我老了吗... 04/18 00:23
10F：→ simonjen :其实我看不太懂你说的有问题是在哪里??!! 04/18 00:28
11F：推 peicachu :When F is a field containing an infinite number 04/18 00:33
12F：→ peicachu :of elements, we usually regard a polynomial with 04/18 00:33
13F：→ simonjen :在定义里面 你举的那一些都是同一个多项式 04/18 00:34
14F：→ peicachu :coefficients from F as a function from F to F. 04/18 00:34
15F：→ simonjen :恩~~~好像有点知道你想说甚麽 04/18 00:40
16F：→ simonjen :在多项式的定义里面并没有提及x是个怎样的东西 04/18 00:44
17F：→ simonjen :也定义了甚麽是多项式的相等 也和x无关 04/18 00:45
18F：→ simonjen :所以他映出来是甚麽 也和这一个是不是多项式无关 04/18 00:46
19F：→ simonjen :不过这和多项式是函数 应该无相关 04/18 00:53
20F：→ simonjen :也就是说 在定义里面 函数包含了 多项式 04/18 00:54
21F：→ simonjen :却不成立相等关系 就像是cosx是函数 却不是多项式 04/18 00:55
22F：→ simonjen :像是 1 - cos(x*(pi/2)) 和 sin(x*(pi/2)) 用相同的 04/18 01:03
23F：→ simonjen :定义x的方式 不是0就是1 04/18 01:03
24F：→ simonjen :令g(x) = 1 - cos(x*(pi/2)) f(x)= sin(x*(pi/2)) 04/18 01:05
25F：→ simonjen :g(0) = 0 = f(0) 且 g(1) = 1 = f(1) 04/18 01:06
26F：→ simonjen :所以用函数的方式来看 sin cos 是不对的?? 04/18 01:07
27F：→ Vulpix :先就楼上这个例子说：此处定义域只有{0,1} 04/18 01:45
28F：→ Vulpix :这两个函数表示法没有任何差异，甚至跟h(x)=x也分不 04/18 01:47
29F：→ simonjen :原po的例子 也是相同的定义域 04/18 01:47
30F：→ Vulpix :出差异。所以可说f,g都是多项式函数。 04/18 01:48
31F：→ simonjen :??!!! 是这样吗??!! 04/18 01:49
32F：→ Vulpix :毕竟他们跟h这个函数根本就是同一个函数啊 04/18 01:51
33F：→ Vulpix :既然h是多项式函数，那f,g当然也是 04/18 01:51
34F：→ simonjen :白马是马 黑马是马 白马 = 黑马??!! 04/18 01:53
35F：→ Vulpix :别这麽说，白马非马的那个「是」不是「=」。 04/18 01:58
36F：→ simonjen :是属於 所以我有用 = 号这一个符号来区分是 04/18 02:02
37F：→ Vulpix :只是说f,g,h是多项式函数有点没意思 通常所谓多项式 04/18 10:44
38F：→ Vulpix :函数会在一个affine space上谈，或者说最简单的case 04/18 10:45
39F：→ Vulpix :一个field（当然多项式的系数域会随着不同的affine 04/18 10:46
40F：→ Vulpix :space调整） 04/18 10:46
41F：→ Vulpix :所以我才用 Z/2Z 这个 field 举例 04/18 10:47
42F：→ Vulpix :另外，跟白马非马不一样的地方是：f=g=h是多项式函数 04/18 10:48
43F：→ Vulpix :所谓多项式函数，是可以被多项式表示的函数。 04/18 10:58