作者CloudyWing (孤單ㄉ翼)
看板Math
標題Re: [轉錄][新聞] 30÷2(2+3)÷5是多少？ 計算機딠…
時間Sat Apr 16 14:14:10 2011
其實好不容易停止，我不應該再繼續發文的說
可是昨天沒跟到又覺得有點悶，究竟會不會因為此偏又繼續延燒下去 XDDD
前提１：代數省略乘號的由來
就我所知代數開始省略乘號是在於×長得與x 過於相像
為了方便閱讀而用·代替×
後來又因為在書寫時·常常沒點清楚
最後乾脆允許×在不造成混淆的情況下予以省略
所以演進是2×x→2·x→2x
以下皆是在前提１成立的情況下來探討，如果你不認同這個前提
請左轉，不過這個前提至少我可以確認前半部分是正確的
前提２：省略乘號是否定義擁有優先權
前面有一位前輩有說部分教科書有說明省略乘號優先權為優先，但非是世界通用規則
也就是這是實際上沒有定義的東西，但部分教科書編輯者卻將自己的認知編輯進去
這種情況應該是那些教科書編輯錯誤...
至少在"省略乘號擁有優先權"確實被定義出來前，省略乘號是沒有優先權
回主題：
由前提１和前提２來看，省略乘號發生是屬於特定情況下可以省略
而非特定情況下"一定
所以乘號有沒有省略不會影響結果，省略的乘號自然可以復原
30÷2(2+3)÷5還原成30÷2×(2+3)÷5
答案就是15沒有錯
話說看前面的討論我覺得很多人都陷入發生以下狀況
常見狀況１：許多人往往會將老師為了方便人理解所提出得"非完全事實"當成"事實"
像是前面有人提出帶分數是整數加一個分數，但實際上帶分數本身是一個數字而非算式
整數加分數只是老師方便學生理解提出的說法而已
接下來本狀況皆只探究意義而不討論值的部分
首先是其他像2根號2還有2π這些東西上一篇前輩已提出他們本身就是數字而非算式
也就是2π≠2×π，前者是數字，後者是算式
再來是2x是否等於2×x呢?
在探究這個問題前先來看一件事
乘法運算中，積的單位取決於被乘數
也就是說5×3≠3×5
因為兩者的積得到的單位不同
舉一個例子來說，五隻雞有幾隻腳應該是要寫成
2×5=10，而非是5×2=10
所以說2×x是要解讀成x個2
2x我們是怎麼解讀的呢?
舉一個例子來說，全部雞有10隻腳，那總共有幾隻雞？
2x=10→2（隻腳）x（頭雞）=10（隻腳）
解讀上也是x個2，和2x的解讀法是一樣的
事實上我一開始學代數也是先寫2×x，後來才省略寫成2x，算是有點呼應前提１
常見狀況２：老師自己教錯（並不難見到這種情況）
前面有前輩說他以前老師教代數說數字必須與未知數綁在一起
也就是說2a*b/24c*d這個算式是變成(2abd)/(24c)
首先我沒聽過那位前輩老師說得說法，當然我也不能因此說那位前輩的老師說錯
可是有老師教學生是教(2abcd)/(24)
也就是說兩位老師一定有一位說錯，那如果根據前提１和２成立的情況下來說
應該是後者是對的
常見狀況３：不常見之事物臨時要用而不小心忽略細節
為什麼我們以前在做省略乘號沒有優先問題的情況發生
1.省略乘號前面是＋或－號，乘號優先順序高於＋號和－號，所以沒問題
2.省略乘號前面是×，因為只探究值，乘法有交換率
所以就算優先順序有錯誤，但值並不會有影響
也就是說省略乘法只有在前面是÷才會有我們現在的爭議
以我的情況來說我學到代數就幾乎沒有看到÷的存在
通常是用分數的表達來代替÷
就算真的遇到÷也都有用()而沒有解讀上的問題
如果大家的情況都和我一樣的話
那大部分的人6x÷2x會覺得值是3並不代表他真的是3，而不是x^2
(6x)÷(2x)=3，這點是沒問題，而他的()是可以隨意省略嗎?
事實上舉這種很冷門不常見的例子很沒有意義
就算一些很常用但很少注意細節的東西
都很有可能因為平常方便習慣而忽略真實情況
何況這種冷門平常不會用到，要別人用直觀的想法判斷很容易出錯
正確的做法還是要去選擇去探究定義的部分，由定義來解答問題
結論：
要判斷答案是15還是0.6
必須要先確認省略乘號的由來與省略乘號是否有重新定義優先序
我覺得大家要發表意見可以
但過分爭論自己的觀點是否正確，而到位反而反的地步的話
不如用念力來請求哪位數學系高手中之高高手來去翻原始定義引經據典替大家解答(咦!?)
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我果然不太適合發文
歸納重點以及表達讓人可以正確理解文章的能力太差了...
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.167.221.172
※ 編輯: CloudyWing 來自: 218.167.146.215 (04/16 14:22)
1F：→ amu1661024 :不妨思考一下： 手寫式 機算機表示式 04/16 15:06
2F：→ amu1661024 : a + b = (a + b)/c 04/16 15:07
3F：→ amu1661024 : _________ 04/16 15:07
4F：→ amu1661024 : c 04/16 15:07
5F：→ amu1661024 :打得有點歪 其實為何計算機要括號呢 因為計算機掃描 04/16 15:08
6F：→ amu1661024 :是一維的 計算機無法向人腦這樣辨識手寫式子 04/16 15:09
這個問題我們就要探討一下在/左邊(右邊)的式子沒有完全寫在左上方(右下方)
那定義上分子(母)是一個式子還是一個數字
如果是一個數字的情況下
那代表你平常手寫橫式你沒有把整個式子寫在左上方(右下方)還是需要括弧
手寫法很多種，你不能因為計算機只能用這種寫法
而反過來說手寫法用橫式不需用括弧
當然如果正常來說橫式沒有'/'這種東西
如果橫式'/'只是計算機表示式特有的產物，請忽略我這段 XD
7F：推 WINDHEAD :要不要辦個網聚什麼的, 這樣你們比較好討論 04/16 15:09
8F：→ amu1661024 :所以你們爭論的問題沒意義 因為手寫跟計算機表示式 04/16 15:09
9F：→ simonjen :我覺得所謂的"除"這一個符號 也不可以當成"/"這樣表 04/16 15:10
÷和/是否不一樣我不確定
可是狀況二的第二個舉例是在網路上找到的
我相信那個人原本是要打2a×b÷24c×d，只是他不會打乘號和除號 XDDD
10F：→ amu1661024 :本來就不同 你們卻硬是要把它當成相同的東西 04/16 15:10
11F：→ simonjen :其實W是想要網聚吧 呵呵 04/16 15:11
※ 編輯: CloudyWing 來自: 218.167.124.21 (04/16 15:55)
※ 編輯: CloudyWing 來自: 218.167.124.21 (04/16 15:59)
12F：推 peicachu :學到後來，就我所知，點乘跟×不一樣 04/16 16:04
13F：→ peicachu :雖然用於實數積結果一樣 04/16 16:07
14F：→ peicachu :小學先接觸的是最後的應用，越往上學的是越「基本」 04/16 16:10
15F：→ peicachu :先認識最容易認識的，再慢慢進度最底層 04/16 16:13
16F：→ peicachu :總不會小學就跟他說有很多種乘的意義不一樣 04/16 16:14
17F：→ peicachu :至於為什麼小學先教你使用×而不是點乘？ 04/16 16:24
18F：→ peicachu :跟小數點太像，小學還在學寫字，更容易弄錯XD 04/16 16:28
‧和×的差異是在空間向量才不一樣
空間向量本身就新增以及重新定義一些觀念
所以先不做討論
而在非空間向量的部分‧和×是一樣的
為什麼先教小學生×而不是‧，我不確定緣由
可是數學最早確實是先以×的符號來代表乘法
等到代數時，才因×和x容易考混而有人提出用‧代替×這點倒是沒問題
話說回來我剛發現一件事情...
(6x)÷(2x)≠3 XDDD
除法運算中，除數不能為0，所以在未知數可能為0的情況下，不可以消掉...
※ 編輯: CloudyWing 來自: 218.167.124.21 (04/16 17:05)
19F：推 peicachu :就手邊有關數學史的書籍表示，以上正確 04/16 17:09
20F：→ peicachu :除法符號是先有÷，後來有人用/代表除法 04/16 17:11
21F：→ peicachu :表示/並非不是只有計算機特有產物 04/16 17:12
22F：→ MatHoT :不同意(6x)÷(2x)≠3 這是多項式的運算 不是純數 04/16 17:13
23F：→ peicachu :不過大多都是以數學家為主，其他資訊有待強者補完 04/16 17:14
24F：→ MatHoT :若照您的說法 多項式的除法中 04/16 17:15
25F：→ MatHoT :除式=0的方程式必須無解 04/16 17:15
26F：→ peicachu :嚴格寫：(6x)÷(2x)=3, x≠0 04/16 17:15
27F：→ peicachu :婀，我是要說(6x)/(2x) 04/16 17:16
28F：→ peicachu :BBS真麻煩XD 04/16 17:17
29F：→ MatHoT :我的觀點是 只有要把算式中的代數化為可能的實數時 04/16 17:19
30F：→ MatHoT :才需要扣除掉除數和分母為零的情況 如方程式.不等式 04/16 17:21
31F：→ MatHoT :單純多項式的運算是不需要的 04/16 17:21
就我印象中，高中數學在教單純多項式的話，也是教不可以隨便消掉未知數
不然就是題目本身有註明未知數不為0時，才可以直接消掉
32F：推 peicachu :f(x)=6x, g(x)=2x,then f(x)/g(x)=3 , x≠0 04/16 17:24
※ 編輯: CloudyWing 來自: 218.167.124.21 (04/16 17:30)
33F：推 sillycloud :你的前提2請再加個前提 純數式是否有省略乘號這玩意 04/16 17:42
34F：→ sillycloud :如果沒有 那答案不管是15還是任意數都是對的 04/16 17:43
35F：→ sillycloud :因為題目有錯 04/16 17:43
36F：→ sillycloud :若以代數式看之 將2視為係數解出0.6是其中一種解法 04/16 17:47
37F：→ MatHoT :您的意思是 (x^2-3x+2)除以（x-2）不能算 04/16 17:48
38F：→ sillycloud :而解為15則必須先確定"省略乘號沒有優先權"這件事 04/16 17:49
將代數式的未知數套數字進去，代數式不就變成純數式?
那此時有省略乘號的代數式不就是有省略符號的純數式
那如果純數式不能省略乘號的話
不就代表有省略符號的代數式不能代數字進未知數?
代數應該只是將已知數設成未知數已探究量的方式
我以為他們之間除了是否擁有未知數以外，定義上應無不同處(線性代數例外)
而且是否有定義係數應該要先乘？
從常見狀況２來說，似乎每個老師認知不同
所以要用係數來解釋也是要看係數先乘的定義是否存在吧
39F：→ MatHoT :除非加上"x不等於2"? 04/16 17:49
40F：→ MatHoT :這樣的話幾乎所有的教科書和講義題目都題目不完整 04/16 17:50
41F：→ MatHoT :您我講的確定不為0才可消掉的 04/16 17:50
42F：→ MatHoT :指的是像 (x-2)(x+7)=(x-2)(2x+3)這種 04/16 17:51
43F：→ MatHoT :要確定(x-2)不為零才可消去 否則求出的解會少一個：2 04/16 17:52
44F：推 peicachu :1.可以算，最後要補上x≠2 04/16 18:02
45F：→ peicachu :2. 有講就直消，沒講的話要提公因式 04/16 18:03
46F：→ MatHoT :1. 答案就是x-1, 不用補x≠2 04/16 18:05
47F：推 peicachu :高中已默認定義域沒有x=2，但我會要求學生補上 04/16 18:11
48F：→ peicachu :若再請畫出圖形，大多都一條線畫過去，就噴了 04/16 18:14
49F：→ MatHoT :我探討的是多項式的除法 而非多項式函數 04/16 18:15
50F：→ MatHoT :定義域和值域是多項函數才有的東西 04/16 18:16
51F：→ MatHoT :你都會要求學生寫 不代表一定需要寫 04/16 18:16
52F：→ MatHoT :f(x)=(x^2-3x+2)/(x-2)和f(x)=x-1 的圖形當然不同 04/16 18:20
53F：→ MatHoT :但多項式的除法(x^2-3x+2)除以(x-2)=x-1是無庸置疑的 04/16 18:21
54F：推 peicachu :補充，上面這樣會說商是x-1 04/16 18:30
55F：→ MatHoT :(x^2+2x+5)÷(x-2)的商式為x 餘式為4x+5 04/16 19:05
56F：→ MatHoT :也可寫成 04/16 19:05
57F：→ MatHoT :(x^2+2x+5)/(x-2)=x+(4x+5)/(x-2) 04/16 19:06
58F：→ MatHoT :同理(x^2-3x+2)÷(x-2)的商式為x-1 餘式為0 04/16 19:06
59F：→ MatHoT :也可寫為(x^2-3x+2)/(x-2)=x-1 04/16 19:07
60F：→ MatHoT :抱歉上面除法沒算完 不過我想我要表達的意思有到 04/16 19:08
→ MatHoT :更正(x^2+2x+5)÷(x-2)的商式為x+4 餘式為13
→ MatHoT :(x^2+2x+5)/(x-2)=(x+4)+13/(x-2)
→ MatHoT :就好比分式的運算 (x^2-3x+2)/(x^2+x-6)=(x-1)
好羨慕喔...，原來現在沒有規定要寫...
我以前是明確定義要寫出來的說...
才沒多久竟然又不要求了... orz
推 hirabbitt :我記得5×3(台式)=3×5(美式)
61F：→ hirabbitt :台灣的單位跟前面 美國的單位跟後面 04/16 19:09
62F：→ hirabbitt :是有定義的 只是在純數學因為不常用 所以常被忽略 04/16 19:10
原來還有分台式和美式這兩種 @.@"
我只學過台式而已...
話說回來美式在除法運算單位從屬關係不就怪怪的 @.@?
63F：→ suginamiki :求知是很有趣的，看大家討論也覺得很有意思 04/16 19:46
64F：→ suginamiki :網聚好像很好玩。雖然已經覺得這是邏輯認知問題 04/16 19:47
※ 編輯: CloudyWing 來自: 218.167.222.204 (04/16 23:16)
65F：→ simonjen :除有分成 你要用"商 餘"表示 和 分數表示 這兩個是 04/16 23:54
66F：→ simonjen :不同的數學結構體 但是"/" 只是單純的只是分數表法 04/16 23:55
67F：推 sillycloud :如果原po認為係數的概念有誤 那就有勞推翻了 04/16 23:57
68F：→ sillycloud :至於代數這部份 我認為"變數"跟"未知數"是該分開看的 04/16 23:59
69F：→ sillycloud :若是為純數式來看 我想大部分人都能接受題目有誤 04/17 00:02
70F：→ sillycloud :個人認為這題就是題目有誤答案恆對 04/17 00:03
71F：→ sillycloud :所以代數式那部份就交給強者去處理了 04/17 00:04
72F：→ sillycloud :總感覺論點一直在循環 哈 04/17 00:06
73F：→ sillycloud :x^0=1 ,x除了不能為0之外,它也可以是e或其他非純數 04/17 00:21