作者gwendless (望月‧老蔣)
看板Math
標題Re: [機統] 機率兩題觀念
時間Thu Apr 14 23:22:24 2011
※ 引述《andy2007 (...)》之銘言：
: 前輩們好，今日要來請問各位機率的觀念題目
: 1. 如果兩個隨機變數它們有相同的期望值，是否會有相同的變異數？
: 如果有，為什麼會相同？如果沒有，為什麼會不相同？
: 2. X、Y 是幾何隨機變數，他們是否會有相同的期望值，是否會有相同的變異數？
: 如果相同，為什麼相同？如果不相同，為什麼不相同？
: 希望可以不要是舉例子來解釋的方法，是否可以用數學的方法來解釋呢？
: 初學機率，問了奇怪的問題
: 請各位前輩們多多包含，幫我指點迷津，再次感謝各位前輩們。<(_ _)>
我猜你想訴求的「數學的方式」，
是能藉由一般化的隨機變數X、Y
來推導出「肯定X、Y有」相同變異數或「X、Y肯定沒有」相同變異數
然而還有一種結論，叫做inconclusive（未能定論），
或口語一點，就是所謂的「不一定」。
但所謂「數學的方式」，是只要你能提出一個反例，便可推翻一個命題。
「舉例」並不是「非數學」的證明方式。
窮舉法、舉反例，都是很完善的「數學證明方式」。
所以不用拘泥於「萬一舉例了，這題解起來就不夠『數學』了」
OK，如果接受，那往下繼續看。
以第一個問題為例，
你如果想知道「是否」有相同的變異數，
在嚴謹的數學推導過程裡，我們依然可以先立下一個命題：
「若X、Y為有相同的期望值的兩個隨機變數，則X、Y必然有相同變異數。」
在上一行當中，它只是個尚未被證明（或反證）的命題。
如果我們能舉一個例子，比如說X＝{1,2,3} Y＝{0,2,4}
顯然X、Y變異數不同，就等於推翻了上面這個命題。
反之，
再假設
「若X、Y為有相同的期望值的兩個隨機變數，則X、Y必然有不同的變異數。」
反例很好找，只要X和Y分佈一致，那就是一種反例了。因為變異數必然相同。
那麼，這個命題也是錯的。
既然，並非「必然有相同變異數」，也非「必然有不同的變異數」
那麼結論就會是「不一定」（inconclusive）
也就是說，真正的事實是，
「若X、Y是期望值相同的兩個隨機變數，他們的變異數『未必』會相同。」
相同的思維，再去到第二題就輕鬆多了。
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◆ From: 111.243.12.95
※ 編輯: gwendless 來自: 111.243.12.95 (04/14 23:23)
1F：推 andy2007 :謝謝您前輩，我有一個問題：只要X和Y分佈一致，那就 04/14 23:29
2F：→ andy2007 :是一種反例了。因為變異數必相同。這句話是為什麼呢? 04/14 23:30
3F：→ andy2007 :不管是哪種分佈，只要兩個隨機變數分佈一致，期望值 04/14 23:31
4F：→ andy2007 :必相同？變異數必相同？ 04/14 23:31
5F：推 peicachu :因為分佈一致 04/14 23:32
6F：推 andy2007 :謝謝前輩，為什麼分佈一致就會相同呢？ 04/14 23:33
7F：→ gwendless :「分佈一致」跟「呈同一類形分佈」是不太一樣的話 04/14 23:34
8F：→ gwendless :你可能把前者誤解為後者了。 04/14 23:34
9F：推 andy2007 :前輩的意思是說： 04/14 23:41
10F：→ andy2007 :X＝{1,2,3} Y＝{0,2,4} 分佈不一致，變異數不同 04/14 23:41
11F：→ andy2007 :X＝{2,2,2} Y＝{2,2,2} 分佈一致，變異數相同 04/14 23:41
12F：→ andy2007 :這個意思嗎？不好意思，基礎薄弱Orz 04/14 23:42
13F：→ gwendless :正解。 04/14 23:45
14F：→ andy2007 :謝謝前輩，不過分佈一致看起來好像只是把變數換一個 04/14 23:46
15F：→ andy2007 :：X變成Y 這樣子。 04/14 23:47