作者gwendless (望月‧老蒋)
看板Math
标题Re: [机统] 机率两题观念
时间Thu Apr 14 23:22:24 2011
※ 引述《andy2007 (...)》之铭言：
: 前辈们好，今日要来请问各位机率的观念题目
: 1. 如果两个随机变数它们有相同的期望值，是否会有相同的变异数？
: 如果有，为什麽会相同？如果没有，为什麽会不相同？
: 2. X、Y 是几何随机变数，他们是否会有相同的期望值，是否会有相同的变异数？
: 如果相同，为什麽相同？如果不相同，为什麽不相同？
: 希望可以不要是举例子来解释的方法，是否可以用数学的方法来解释呢？
: 初学机率，问了奇怪的问题
: 请各位前辈们多多包含，帮我指点迷津，再次感谢各位前辈们。<(_ _)>
我猜你想诉求的「数学的方式」，
是能藉由一般化的随机变数X、Y
来推导出「肯定X、Y有」相同变异数或「X、Y肯定没有」相同变异数
然而还有一种结论，叫做inconclusive（未能定论），
或口语一点，就是所谓的「不一定」。
但所谓「数学的方式」，是只要你能提出一个反例，便可推翻一个命题。
「举例」并不是「非数学」的证明方式。
穷举法、举反例，都是很完善的「数学证明方式」。
所以不用拘泥於「万一举例了，这题解起来就不够『数学』了」
OK，如果接受，那往下继续看。
以第一个问题为例，
你如果想知道「是否」有相同的变异数，
在严谨的数学推导过程里，我们依然可以先立下一个命题：
「若X、Y为有相同的期望值的两个随机变数，则X、Y必然有相同变异数。」
在上一行当中，它只是个尚未被证明（或反证）的命题。
如果我们能举一个例子，比如说X＝{1,2,3} Y＝{0,2,4}
显然X、Y变异数不同，就等於推翻了上面这个命题。
反之，
再假设
「若X、Y为有相同的期望值的两个随机变数，则X、Y必然有不同的变异数。」
反例很好找，只要X和Y分布一致，那就是一种反例了。因为变异数必然相同。
那麽，这个命题也是错的。
既然，并非「必然有相同变异数」，也非「必然有不同的变异数」
那麽结论就会是「不一定」（inconclusive）
也就是说，真正的事实是，
「若X、Y是期望值相同的两个随机变数，他们的变异数『未必』会相同。」
相同的思维，再去到第二题就轻松多了。
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◆ From: 111.243.12.95
※ 编辑: gwendless 来自: 111.243.12.95 (04/14 23:23)
1F：推 andy2007 :谢谢您前辈，我有一个问题：只要X和Y分布一致，那就 04/14 23:29
2F：→ andy2007 :是一种反例了。因为变异数必相同。这句话是为什麽呢? 04/14 23:30
3F：→ andy2007 :不管是哪种分布，只要两个随机变数分布一致，期望值 04/14 23:31
4F：→ andy2007 :必相同？变异数必相同？ 04/14 23:31
5F：推 peicachu :因为分布一致 04/14 23:32
6F：推 andy2007 :谢谢前辈，为什麽分布一致就会相同呢？ 04/14 23:33
7F：→ gwendless :「分布一致」跟「呈同一类形分布」是不太一样的话 04/14 23:34
8F：→ gwendless :你可能把前者误解为後者了。 04/14 23:34
9F：推 andy2007 :前辈的意思是说： 04/14 23:41
10F：→ andy2007 :X＝{1,2,3} Y＝{0,2,4} 分布不一致，变异数不同 04/14 23:41
11F：→ andy2007 :X＝{2,2,2} Y＝{2,2,2} 分布一致，变异数相同 04/14 23:41
12F：→ andy2007 :这个意思吗？不好意思，基础薄弱Orz 04/14 23:42
13F：→ gwendless :正解。 04/14 23:45
14F：→ andy2007 :谢谢前辈，不过分布一致看起来好像只是把变数换一个 04/14 23:46
15F：→ andy2007 :：X变成Y 这样子。 04/14 23:47