※ 引述《rachel5566 (rachel5566)》之銘言： : V(a,b)是上面圓路徑的中心，半徑為R : 這個平均定理我在向量分析的書裡面有找到，他從Green's indentity出發來證 : 過程非常繁複，也就是要先知道一些前置的定理才能推出平均定理的結論 : 另外，我在http://physics.harvard.edu/~morii/phys15b/lectures/Lecture4.pdf : 第八頁找到證明三維laplace's equation的平均定理的方法 : 但是我沒辦法用類似的手法去推得二維的結論，不知是否能以同樣的手法推得? : 或者，能不能以複變積分的技巧來證明呢? : 先謝謝各位m(_ _)m 惡搞魂突然又發作了@@ (是說我分析不熟, 有錯請多多指正:p) 記 U=單位圓內部 T=單位圓 設 f 是 U 上的 harmonic function, 且在 T 上連續, 我們先證明 f 被 T 上的取值唯一決定。 假設 f 限制在 T 上 ≦ 0 假設 f 在 U 內某點 p 上取值 > 0 取 ε 使 f(p) > ε > 0 記 g(z) = f(z) + ε|z|^2 那麼就有 g(T) ≦ ε 且 g(p) > ε 故 g 在 U 內某點 q 達到 local maximum 也就是說在 q 上有 g_xx≦0 且 g_yy≦0 可是另一方面 g_xx+g_yy = f_xx+f_yy+4ε= 4ε , 此為矛盾 故 f 在 U 上恆 ≦ 0 同理可證 f 在 T 上恆 ≧ 0 => 在 U 上恆 ≧ 0 也就是說，當 f(T)=0 時有 f(U)=0 所以 f 的取值由 T 唯一決定。 考慮 Ψ : f|T -> f -> f(0) Ψ是一個 positive linear functional 由 Riesz Representation Theorem , 存在 measure μ 使得 f(0) = Ψ(f|T) = ∫ f dμ T 注意到 Ψ 是旋轉不變的，也就是說對任意 T 的旋轉γ都有 Ψ(foγ) = Ψ(f) 以及當 f=1 時 Ψ(f)=1 , 可知 dμ = (1/2π)dθ , 此即 average theorem. --

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