※ 引述《rachel5566 (rachel5566)》之铭言： : V(a,b)是上面圆路径的中心，半径为R : 这个平均定理我在向量分析的书里面有找到，他从Green's indentity出发来证 : 过程非常繁复，也就是要先知道一些前置的定理才能推出平均定理的结论 : 另外，我在http://physics.harvard.edu/~morii/phys15b/lectures/Lecture4.pdf : 第八页找到证明三维laplace's equation的平均定理的方法 : 但是我没办法用类似的手法去推得二维的结论，不知是否能以同样的手法推得? : 或者，能不能以复变积分的技巧来证明呢? : 先谢谢各位m(_ _)m 恶搞魂突然又发作了@@ (是说我分析不熟, 有错请多多指正:p) 记 U=单位圆内部 T=单位圆 设 f 是 U 上的 harmonic function, 且在 T 上连续, 我们先证明 f 被 T 上的取值唯一决定。 假设 f 限制在 T 上 ≦ 0 假设 f 在 U 内某点 p 上取值 > 0 取 ε 使 f(p) > ε > 0 记 g(z) = f(z) + ε|z|^2 那麽就有 g(T) ≦ ε 且 g(p) > ε 故 g 在 U 内某点 q 达到 local maximum 也就是说在 q 上有 g_xx≦0 且 g_yy≦0 可是另一方面 g_xx+g_yy = f_xx+f_yy+4ε= 4ε , 此为矛盾 故 f 在 U 上恒 ≦ 0 同理可证 f 在 T 上恒 ≧ 0 => 在 U 上恒 ≧ 0 也就是说，当 f(T)=0 时有 f(U)=0 所以 f 的取值由 T 唯一决定。 考虑 Ψ : f|T -> f -> f(0) Ψ是一个 positive linear functional 由 Riesz Representation Theorem , 存在 measure μ 使得 f(0) = Ψ(f|T) = ∫ f dμ T 注意到 Ψ 是旋转不变的，也就是说对任意 T 的旋转γ都有 Ψ(foγ) = Ψ(f) 以及当 f=1 时 Ψ(f)=1 , 可知 dμ = (1/2π)dθ , 此即 average theorem. --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 24.12.185.67