作者gwendless (望月‧老蔣)
看板Math
標題Re: [轉錄][新聞] 30÷2(2+3)÷5是多少？ 計算機딠…
時間Wed Apr 13 00:37:37 2011
※ 引述《mesak (米沙)》之銘言：
: 30÷2 x (2+3)÷5 = ?
: 30÷2 x (2+3) = ? x 5
: 30÷2 = ? x 5 ÷(2+3)
: 30 = ? x 5 ÷(2+3) x 2
: 只是移動位置而已 x 請看成 乘
: 試問四個公式的 ? 是多少
從我個人角度來看，我覺得這個問題的陷阱非常精美。
如果我們把題目改成
30+ 2(2+3) +5 ＝？
那大家都會優先處理2與括號的關係。
套句很多人習以為常的講法，「把2乘進去」或「簡化、先計算括號」
漸漸地，處理括號與括號前的被乘數變成簡化算式的優先動作。
這是功文式練習帶給我們的習慣。
再來一題
6 + 4(3+7) + 2(1+4) = ?
我想多數人應該還是把括號與括號前係數一口氣簡化好，然後 6 + 40 + 10 搞定。
但今天的題目，加號全都變成了除號。
30÷2(2+3)÷5 =？
第一道陷阱，就會有人踩下去。
就是 優先地簡化2(2+3)。
如此算來當然是0.6。
當然，我想這只是單純的粗心，但仔細想想，有些人依然覺得有其道理。
因為如果將題目改寫成 30÷2X÷5的話，那應該一樣會變成3/X才對。
再代X＝2+3＝5 ，得0.6是天經地義的事情。
....等等。
大家來回想一下，在我們習慣了「乘號省略」的表達形式以後，
還有做過混合了除號與省略式乘號的例題嗎？
手邊的國一上講義沒有類似的例題，印象中幾個版本課本也沒提過。
希望有人能找到類似的題型分享看看。
如果沒有，那麼這題的符號表徵很明顯是超出老師所教、學生所慣用的範圍。
我再給一個例題。
2X+6 13-X
解一元一次方程式 ─── - ─── ＝ 2
5 3
第一步你也許會想要通分，或者有其他很怪異的簡化法或直觀，anyway
如果你選擇的是兩邊同乘以15的路線，那以下兩個步驟何者正確呢？
一、 6x+18-65-5x=30 最後得x＝77
二、 6x+18-65+5x=30 最後得x＝7
如果你選（一），那我想你有很高機率是0.6派的。
如果你選（二）卻也同時是0.6派，
那你就得審視一下你在上面這題是怎麼判斷（一）是錯的？
我想不外乎，你知道分子的數，正負號都會受分式外面的減號影響。
因為分子是減式，而分號是除式
分子結果必須優先計算，故
例題應該是這樣：
（2X+6） （13-X）
解一元一次方程式 ─── - ─── ＝ 2
5 3
其實分子是「可以視為」有一層「隱形的括號」存在的。
那麼，回歸到原本的題目
30÷2(2+3)÷5 =？
我們可以視同 2（2+3）之外有一層隱形的中括號嗎？
像是這樣30÷[ 2(2+3) ] ÷5 =？
或者，30 ÷2x ÷5 =？ 真的該把2x視為「已有隱形括號存在的數」嗎？
30 ÷(2x) ÷5 =？
還是該視為
30÷2．x÷5？
這應該就是課本沒有提供題型的地方，所以才會產生混亂
也就是這個陷阱最精美的第二步。
第一步讓你躲過，沒關係。還有第二步能讓你對這個算法死心眼。
課本有沒有提出題型澄清是一回事，但沒有從「定義」去下手才是真正的致命錯誤。
2 2
我想很多人應該碰過把 (2x) 化簡為 2x 的學生。
2 2
或者要配方 2x + 4x + 1 的時候直接配成了 (2x+1)
又或者可能在展開後者的時候變成了前者。
這些都是符號定義使用不清楚的情況導致的結果。
關於「2x」這樣的東西，我們是怎麼定義的呢？
是2．x的略寫。且2．x又是2 ×x的簡寫。
「並不包含2 ×x這步必須優先算」的意義。
所以，根據定義，
2（2+3）並不表示2 ×(2+3) 的計算優先度必須高於整個算式的其他部份。
結論，
30÷2(2+3)÷5 在優先算括號以後，應該簡化為
30 ÷2 ×5 ÷5
至此沒有任何的括號需要優先算，我想任何人都能輕鬆解決這個問題了。
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◆ From: 111.243.11.6
1F：推 mesak :認真推~ 04/13 00:50
2F：推 demon :教得不錯，清楚易懂 04/13 00:56
3F：推 globalize :可是這好像沒有說明道為何2x就可以優先算 04/13 01:01
4F：推 awdzs :所以答案到底是多少? 04/13 01:02
5F：→ globalize :後面的結論是正確的沒錯 不過似乎不能解釋 04/13 01:02
6F：→ globalize :為何30÷2x÷5 其中的2x要先算哦? 04/13 01:03
7F：→ globalize :還是說數字跟字母的乘法可以看成都有隱形括號 需要 04/13 01:04
8F：→ globalize :先算 數字與數字的乘法就沒有這樣優先權? 04/13 01:04
為了回應，複製一下最後幾段的文字（雖然往上拉幾下就看到了）
關於「2x」這樣的東西，我們是怎麼定義的呢？
是2．x的略寫。且2．x又是2 ×x的簡寫。
「
並不包含2 ×x這步必須優先算」的意義。
言下之意，在此題原式中不得將2x視為有隱形括號的存在。
9F：推 mesak :同理 6÷2x x=3 算一下就知道了嘛=w= 04/13 01:12
10F：→ mesak :還在 2x 先算 我就無言了 04/13 01:12
11F：推 globalize :如果按照你結論的說法 那麼30÷2x÷5=30÷2*x÷5 04/13 01:12
12F：→ globalize :=3x 可是這種代數計算 應該是算成3/x吧 04/13 01:13
為什麼「這種代數計算」必須要「把2x先當成一體」這樣算呢？
「以符號代表數」的運算規則定義裡，真的是定義如此嗎？
你的想法，我猜是認為2x無論如何是「已經算好的一個數字」了
所以x去哪裡，2就必須跟著去哪裡。我對你想法的推測，正確嗎？
※ 編輯: gwendless 來自: 111.243.11.6 (04/13 01:17)
13F：→ globalize :當然答案是15 這是沒錯的 04/13 01:14
14F：→ globalize :我的疑惑是 是不是 數字跟字母的乘法優先權較高? 04/13 01:14
15F：推 peicachu :問題在2x中間省略的是運算的*，還是單純表達係數 04/13 01:15
16F：→ globalize :而數字跟數字的乘法就沒有優先權 需要按步驟算? 04/13 01:15
優先權什麼的，「在這個題目當中」，根本就沒有這回事。
我前面回應的黃字部份可以再多想幾次。
黃字部份是很重要的「以符號代表數時，運算的基本規則」之定義
我想應該是因為曲解或過度延伸了這個定義，才會出現「2與x的結合有優先權」這回事
我舉那個一元一次分式方程式的例題，就是為了澄清「計算優先權」的觀念。
17F：推 Cadia :我被一堆人噓說是0.6 Q__Q 04/13 01:15
18F：→ globalize :我也是算0.6 可是你的例子那邊 我是第2個 04/13 01:15
19F：推 globalize :希望你有明白我的意思....@@" 04/13 01:17
20F：推 IanHsia :這篇超清楚的阿 2x直接並著看的 是因為2x此項前後常 04/13 01:17
21F：→ IanHsia :為+-... 在處理未知數列式時 遇到除一定是寫成分式 04/13 01:18
22F：推 peicachu :個人認為此題的2(2+3)表達的是係數而非*號運算 04/13 01:19
我也聽過不少這種講法，不過我對這種講法有疑問。
根據實數乘法交換率，兩者位置可以互換，也就是說都可以是係數！
這樣一來係數說就很奇怪了。
而且，「係數」又是怎麼定義的呢？
23F：→ IanHsia :如果在列式時 2x是一起看的條件 則你會預設為(2x) 04/13 01:19
24F：推 ntust661 :推^^ 04/13 01:25
25F：推 globalize :我的問題就是說 代數計算 一定是算成3/x阿 04/13 01:26
我的問題就是說，代數計算，「一定不是」算成3/X啊！
你瞭解我上面要表達的意思了嗎？
※ 編輯: gwendless 來自: 111.243.11.6 (04/13 01:27)
26F：推 IanHsia :2x/2x=1 答案不會變成x^2 是因為(2x)是一起看的 04/13 01:27
27F：→ IanHsia :且也只有在代數 才會有這種東西 04/13 01:27
2x 2
── = 1 ， 但 2 ×x ÷2 ×x 一定是x
2x
說到底，不是代數的問題，毋寧說是除號這玩意惹的禍。
文章前段提到，當我們會用符號代表數的時候，除號已經完全化成分號了。
所以當未知數符號槓到了除號，一定會出現認知差異！！
28F：→ globalize :我知道原po的意思 並且也認同答案是15是沒錯的 04/13 01:28
29F：推 rin0sin :那應該只是大家約定成俗的東西，說真的學到後來根本 04/13 01:28
30F：→ IanHsia :原題目很單純就是基本四則運算 根本就不用考慮啥係數 04/13 01:28
※ 編輯: gwendless 來自: 111.243.11.6 (04/13 01:33)
31F：→ rin0sin :很少使用÷，通通分數表示打死，也不用管他先左後右 04/13 01:29
32F：推 globalize :I大的推文有抓到我想表達的那個點 04/13 01:29
33F：→ globalize :如果按照原po的結論來算 那麼2x/2x就會算成x^2 04/13 01:30
34F：→ globalize :問題是這種在代數計算 答案是1阿.... 04/13 01:30
35F：→ globalize :如果答案為x^2的話 那麼恐怕數學課本通通都要改寫了 04/13 01:31
我倒是覺得改寫可能性不大。
因為這種「當除號遇上未知數」題型，就我的印象，從來沒有在課本裡出現過！
就算有，應當也是(2x) ÷(2x) 這種潤飾過的形式！
36F：推 peicachu :避免混淆，請使用直式:) 04/13 01:31
37F：推 IanHsia :對呀 所以我們會寫成1 除了直接使用分數來看 04/13 01:36
38F：→ IanHsia :在代數裡也有(2x)的意思 當然乘號寫出來就是x^2 04/13 01:37
我認為這種形式要到抽象思考能力更強的時候再去默認會比較ok。
但很明顯這一題是有可能讓兩個思緒清楚的學生戰個沒完沒了的初級四則運算題。
所以一切要降低到定義角度去看，而不能用默認的說法去約定成俗。
也就是為什麼我對這種隱形括號相當敏感的原因...
題外話，在我修過的一門課：「普通數學」當中，老師丟給了我們一題
我自稱之為「等號麻煩」（相較之下今次就是「除號麻煩」）
概念是這樣的：
20 ÷3 = 6 .... 2
在這裡，6 .... 2 並不是一個「量」
那麼，在這裡使用「等號」，是否是「違法」的動作呢？
是否該跟其他算式或方程式的「等號」做出區分呢？
這個問題我還沒有結論，老師則是留給我自己思考。
畢竟小學課程歷經這麼久，這個定義也從沒造成任何一丁點麻煩過。
但在我身上卻變成大麻煩了。
39F：推 globalize :原po是老師哦? 我已經可以完全理解了 04/13 01:49
40F：→ globalize :結論就是對於除號的認知差異 謝謝解釋了! 04/13 01:50
41F：推 peicachu :結論是不要亂省略:) 04/13 01:51
42F：→ globalize :恩 如果我來寫這個式子 都會加上括號避免混淆 04/13 01:52
不是老師，但志向是老師，現在只算得上是個淺資歷家教老師而已。
還在等師大研究所明天中午放榜（爆炸）
43F：→ peicachu :1.加括號 2.所有的四則運算符號不要省略 04/13 01:52
44F：→ peicachu :這樣完全不會有問題 04/13 01:52
別忘了要加在正確的地方XD
我還有印象，今天下午瞄新聞看到有學生上台解這題
就是用力的把中括號加在 [2(2+3)] 這裡啊...
45F：推 globalize :你個觀念非常強阿@@ 祝你加油當上老師了! 04/13 01:54
謝謝，但我還是怕怕XDDD
46F：推 peicachu :原po所說的等號麻煩，因為那是個簡單的表達形式 04/13 01:56
沒錯，是很單純的表達形式不同。
但我很好奇為什麼要這樣設計教材？
到了國中後，很多中程度或低程度同學解方程式就是對這種表達形式死心眼了。
沒有辦法好好地把方程式的等號兩邊當作是翹翹板或天秤看待。
而是認定左邊一定是「計算過程」 而右邊一定是「計算結果」。
有時因此失去了靈活變化式子以得正解的機會。
遇到這種真的需要加倍的耐心...
47F：→ peicachu :在小學用mod會很恐怖 04/13 01:58
當然，我也還沒找到最佳解，說不定現行的就是最佳解了。
真要把類似MOD的概念引入，或者把舊有等號概念砍掉重練
這都不是上新聞被罵幾次就能搞定的變革...
※ 編輯: gwendless 來自: 111.243.11.6 (04/13 02:06)
48F：→ hawkeye1985 :所以說是符號定義的問題~有無物理意義 04/13 02:05
49F：推 kiwi0112 :老師能不能再請教30÷2/(2+3)÷5答案會是多少呢? 04/13 02:16
50F：推 jeffonett :我仍是0.6派但給推,省略的乘號是否是因為代數才出現? 04/13 02:16
51F：→ jeffonett :當你把(2+3)設成D → 30÷2D÷5 = 30÷2xD÷5 ? 04/13 02:18
陷阱精美就在這裡。
如果我們考慮 0.6派所強調的「代數與算術作法優先度的不同」成立
那麼同樣一條式子就「鐵定」會有「兩種」計算結果！
僅用算術作法會做出15，
用代數作法一定會做出0.6。
「用代數的優先度重新詮釋過的算術作法」也會是0.6
一條算式，兩種答案。
我個人覺得這是很致命的矛盾，矛盾來自於前提是承認了這個優先度是有不同的。
題外話2.
經驗告訴我，研究一個題目，也許一開始覺得是矛盾的。
但假以時日，可能會發現其實是無關緊要的敘述。
所以，我也不希望自己是嘴硬到底的死鴨子。
而僅是站在15派的立場，觀察這邊追到最底會看見什麼。
52F：推 peicachu :雖然解釋得不錯，不過這題我還是支持0.6 04/13 02:20
53F：→ peicachu :2跟(2+3)是一起的，所以中間可省 04/13 02:20
54F：→ jeffonett :不否認老師寫過2x3=2(3),當遇到代數會衝突時是否修改 04/13 02:21
55F：→ peicachu :每個單獨的話，2跟(2+3)中間就不會省略 04/13 02:21
56F：→ kiwi0112 :30÷2/(2+3)÷5根據您的說法，答案似乎必須是0.6 ? 04/13 02:22
你同時用了分號與除號，這也是我相當敏感的部份（？
可以請問你的分號，其分子分母就只有2與(2+3)嗎？
還是30與5也包括在分子分母內呢？
※ 編輯: gwendless 來自: 111.243.11.6 (04/13 02:33)
57F：推 jeffonett :若答案是15,有一點到可以說得通,就是代數原本都含有 04/13 02:26
58F：→ jeffonett :(括號) ex: 5x的實際寫法是(5x), 6e是(6e)?? 04/13 02:27
59F：→ Bonboo :我覺得2跟後面的誇胡是在一起的 不能分開的 04/13 02:28
60F：推 peterdream :請問是 30÷(2*5)÷5 ≠ 30÷10÷5 的意思嗎？ 04/13 02:35
61F：→ peterdream :至少我的計算機案出來是這樣.... 04/13 02:35
62F：→ peterdream :更正是 30÷(2*5)÷5 ≠ 30÷2*5÷5 04/13 02:36
63F：推 LeiHide :樓上 兩個不同 04/13 02:40
64F：推 jeffonett :當你用到代數的思維或定義命題(省略成號),是否要用新 04/13 02:42
65F：→ jeffonett :的思維去解題呢:) 04/13 02:42
66F：推 peterdream :剛剛想到 如果以直式來表達這兩個算是 就可以比較出 04/13 02:43
67F：→ peterdream :明顯的差異了....虧我都大三了 慚愧= = 04/13 02:44
68F：→ kiwi0112 :回原PO，30÷2/(2+3)÷5=?在問法跟30÷2(2+3)÷5=? 04/13 02:55
69F：→ Sfly :簡單的說 乘法是滿足結合律 除法並沒有結合律 04/13 02:56
70F：→ kiwi0112 :應該一樣，我們不就是討論為什麼思考上會不一樣嗎 :) 04/13 02:56
71F：推 icyling :回樓上 :) 原PO意思是~ 妳用了 " ÷ " 跟 " / " 04/13 04:08
72F：→ icyling :所以你的題目應該要表達的更詳細一點~ 不然算不出來 04/13 04:08
73F：→ icyling :是30÷[2/(2+3)]÷5 或者[30÷2]/[(2+3)÷5] 04/13 04:09
74F：→ icyling :或者是其他,誇號在數學上很重要,尤其你不是寫成直式 04/13 04:10
75F：→ icyling :運算的時候~ 直式的話就很清楚明白了~ 04/13 04:10
76F：→ bgflyer :請教 我覺得2X^2 的例子是因為平方的優先權更高，而 04/13 14:10
77F：→ bgflyer :而非2X 沒有優先權。 04/13 14:10
78F：→ XBOX720 :如果改成30÷(-2)(2+3)÷5 原PO會怎麼算 04/13 14:57
79F：→ XBOX720 :2或者-2當作(2+3)的係數應該都沒錯 04/13 14:59
80F：推 i14d14 :原來我是數學白癡QQ 04/16 00:38
81F：→ kangbow :奇怪..我們以前2x的定義是(2*X)不是2*X..老師亂教嗎 05/04 12:30