※ 引述《mesak (米沙)》之铭言： : 30÷2 x (2+3)÷5 = ? : 30÷2 x (2+3) = ? x 5 : 30÷2 = ? x 5 ÷(2+3) : 30 = ? x 5 ÷(2+3) x 2 : 只是移动位置而已 x 请看成 乘 : 试问四个公式的 ? 是多少 从我个人角度来看，我觉得这个问题的陷阱非常精美。 如果我们把题目改成 30+ 2(2+3) +5 ＝？ 那大家都会优先处理2与括号的关系。 套句很多人习以为常的讲法，「把2乘进去」或「简化、先计算括号」 渐渐地，处理括号与括号前的被乘数变成简化算式的优先动作。 这是功文式练习带给我们的习惯。 再来一题 6 + 4(3+7) + 2(1+4) = ? 我想多数人应该还是把括号与括号前系数一口气简化好，然後 6 + 40 + 10 搞定。 但今天的题目，加号全都变成了除号。 30÷2(2+3)÷5 =？ 第一道陷阱，就会有人踩下去。 就是 优先地简化2(2+3)。 如此算来当然是0.6。 当然，我想这只是单纯的粗心，但仔细想想，有些人依然觉得有其道理。 因为如果将题目改写成 30÷2X÷5的话，那应该一样会变成3/X才对。 再代X＝2+3＝5 ，得0.6是天经地义的事情。 ....等等。 大家来回想一下，在我们习惯了「乘号省略」的表达形式以後， 还有做过混合了除号与省略式乘号的例题吗？ 手边的国一上讲义没有类似的例题，印象中几个版本课本也没提过。 希望有人能找到类似的题型分享看看。 如果没有，那麽这题的符号表徵很明显是超出老师所教、学生所惯用的范围。 我再给一个例题。 2X+6 13-X 解一元一次方程式 ─── - ─── ＝ 2 5 3 第一步你也许会想要通分，或者有其他很怪异的简化法或直观，anyway 如果你选择的是两边同乘以15的路线，那以下两个步骤何者正确呢？ 一、 6x+18-65-5x=30 最後得x＝77 二、 6x+18-65+5x=30 最後得x＝7 如果你选（一），那我想你有很高机率是0.6派的。 如果你选（二）却也同时是0.6派， 那你就得审视一下你在上面这题是怎麽判断（一）是错的？ 我想不外乎，你知道分子的数，正负号都会受分式外面的减号影响。 因为分子是减式，而分号是除式 分子结果必须优先计算，故 例题应该是这样： （2X+6） （13-X） 解一元一次方程式 ─── - ─── ＝ 2 5 3 其实分子是「可以视为」有一层「隐形的括号」存在的。 那麽，回归到原本的题目 30÷2(2+3)÷5 =？ 我们可以视同　2（2+3）之外有一层隐形的中括号吗？ 像是这样30÷[ 2(2+3) ] ÷5 =？ 或者，30 ÷2x ÷5 =？ 真的该把2x视为「已有隐形括号存在的数」吗？ 30 ÷(2x) ÷5 =？ 还是该视为 30÷2．x÷5？ 这应该就是课本没有提供题型的地方，所以才会产生混乱 也就是这个陷阱最精美的第二步。 第一步让你躲过，没关系。还有第二步能让你对这个算法死心眼。 课本有没有提出题型澄清是一回事，但没有从「定义」去下手才是真正的致命错误。 2 2 我想很多人应该碰过把 (2x) 化简为 2x 的学生。 2 2 或者要配方 2x + 4x + 1 的时候直接配成了 (2x+1) 又或者可能在展开後者的时候变成了前者。 这些都是符号定义使用不清楚的情况导致的结果。 关於「2x」这样的东西，我们是怎麽定义的呢？ 是2．x的略写。且2．x又是2 ×x的简写。 「并不包含2 ×x这步必须优先算」的意义。 所以，根据定义， 2（2+3）并不表示2 ×(2+3) 的计算优先度必须高於整个算式的其他部份。 结论， 30÷2(2+3)÷5 在优先算括号以後，应该简化为 30 ÷2 ×5 ÷5 至此没有任何的括号需要优先算，我想任何人都能轻松解决这个问题了。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 111.243.11.6 为了回应，复制一下最後几段的文字（虽然往上拉几下就看到了） 关於「2x」这样的东西，我们是怎麽定义的呢？ 是2．x的略写。且2．x又是2 ×x的简写。 「并不包含2 ×x这步必须优先算」的意义。 言下之意，在此题原式中不得将2x视为有隐形括号的存在。 为什麽「这种代数计算」必须要「把2x先当成一体」这样算呢？ 「以符号代表数」的运算规则定义里，真的是定义如此吗？ 你的想法，我猜是认为2x无论如何是「已经算好的一个数字」了 所以x去哪里，2就必须跟着去哪里。我对你想法的推测，正确吗？ ※ 编辑: gwendless 来自: 111.243.11.6 (04/13 01:17) 优先权什麽的，「在这个题目当中」，根本就没有这回事。 我前面回应的黄字部份可以再多想几次。 黄字部份是很重要的「以符号代表数时，运算的基本规则」之定义 我想应该是因为曲解或过度延伸了这个定义，才会出现「2与x的结合有优先权」这回事 我举那个一元一次分式方程式的例题，就是为了澄清「计算优先权」的观念。 我也听过不少这种讲法，不过我对这种讲法有疑问。 根据实数乘法交换率，两者位置可以互换，也就是说都可以是系数！ 这样一来系数说就很奇怪了。 而且，「系数」又是怎麽定义的呢？ 我的问题就是说，代数计算，「一定不是」算成3/X啊！ 你了解我上面要表达的意思了吗？ ※ 编辑: gwendless 来自: 111.243.11.6 (04/13 01:27) 2x 2 ── = 1 ， 但 2 ×x ÷2 ×x 一定是x 2x 说到底，不是代数的问题，毋宁说是除号这玩意惹的祸。 文章前段提到，当我们会用符号代表数的时候，除号已经完全化成分号了。 所以当未知数符号杠到了除号，一定会出现认知差异！！ ※ 编辑: gwendless 来自: 111.243.11.6 (04/13 01:33) 我倒是觉得改写可能性不大。 因为这种「当除号遇上未知数」题型，就我的印象，从来没有在课本里出现过！ 就算有，应当也是(2x) ÷(2x) 这种润饰过的形式！ 我认为这种形式要到抽象思考能力更强的时候再去默认会比较ok。 但很明显这一题是有可能让两个思绪清楚的学生战个没完没了的初级四则运算题。 所以一切要降低到定义角度去看，而不能用默认的说法去约定成俗。 也就是为什麽我对这种隐形括号相当敏感的原因... 题外话，在我修过的一门课：「普通数学」当中，老师丢给了我们一题 我自称之为「等号麻烦」（相较之下今次就是「除号麻烦」） 概念是这样的： 20 ÷3 = 6 .... 2 在这里，6 .... 2 并不是一个「量」 那麽，在这里使用「等号」，是否是「违法」的动作呢？ 是否该跟其他算式或方程式的「等号」做出区分呢？ 这个问题我还没有结论，老师则是留给我自己思考。 毕竟小学课程历经这麽久，这个定义也从没造成任何一丁点麻烦过。 但在我身上却变成大麻烦了。 不是老师，但志向是老师，现在只算得上是个浅资历家教老师而已。 还在等师大研究所明天中午放榜（爆炸） 别忘了要加在正确的地方XD 我还有印象，今天下午瞄新闻看到有学生上台解这题 就是用力的把中括号加在 [2(2+3)] 这里啊... 谢谢，但我还是怕怕XDDD 没错，是很单纯的表达形式不同。 但我很好奇为什麽要这样设计教材？ 到了国中後，很多中程度或低程度同学解方程式就是对这种表达形式死心眼了。 没有办法好好地把方程式的等号两边当作是翘翘板或天秤看待。 而是认定左边一定是「计算过程」 而右边一定是「计算结果」。 有时因此失去了灵活变化式子以得正解的机会。 遇到这种真的需要加倍的耐心... 当然，我也还没找到最佳解，说不定现行的就是最佳解了。 真要把类似MOD的概念引入，或者把旧有等号概念砍掉重练 这都不是上新闻被骂几次就能搞定的变革... ※ 编辑: gwendless 来自: 111.243.11.6 (04/13 02:06) 陷阱精美就在这里。 如果我们考虑 0.6派所强调的「代数与算术作法优先度的不同」成立 那麽同样一条式子就「铁定」会有「两种」计算结果！ 仅用算术作法会做出15， 用代数作法一定会做出0.6。 「用代数的优先度重新诠释过的算术作法」也会是0.6 一条算式，两种答案。 我个人觉得这是很致命的矛盾，矛盾来自於前提是承认了这个优先度是有不同的。 题外话2. 经验告诉我，研究一个题目，也许一开始觉得是矛盾的。 但假以时日，可能会发现其实是无关紧要的叙述。 所以，我也不希望自己是嘴硬到底的死鸭子。 而仅是站在15派的立场，观察这边追到最底会看见什麽。 你同时用了分号与除号，这也是我相当敏感的部份（？ 可以请问你的分号，其分子分母就只有2与(2+3)吗？ 还是30与5也包括在分子分母内呢？ ※ 编辑: gwendless 来自: 111.243.11.6 (04/13 02:33)