※ 引述《eric80520 (freejustice)》之銘言： : 題目 Suppose that {ak} is a decreasing sequence of real numbers. : ∞ : Prove that if Σak converges, then kak→0 as k→∞. : k=1 : 我目前會的 : ∞ : since Σak converges,so ak→0 as k→∞ : k=1 : by {ak} is decreasing and →0 ,so {ak} is nonegative sequence : 再來好像要分2k跟2k+1討論, 可是我不太清楚要怎麼做 : 可以教我嗎 謝謝 參考一下: 發信站: 政大狂狷年少 (2009/06/21 Sun 11:03:09) 轉信站: news.cs.nthu!WHSHS ※ 引述《[email protected] (A-gine)》之銘言： > Suppose {a_k} is a decreasing sequence of real number. > ∞ > Prove that if Σ a_k converges, then k(a_k) → 0 as k → ∞ > k=1 > 麻煩大大指導Q___Q Σ a_k converges ==> a_k → 0 故 {a_k} 非負. 2n (2n)a_{2n} ≦ 2 Σ a_k → 0 as n→∞, by Cauchy criterion k=n+1 2n-1 (2n-1)a_{2n-1} ≦ 2 Σ a_k + a_{2n-1} → 0 k=n 故得證 k(a_k) → 0 as k → ∞. --- 另外, 剛才想到的方法, 但涉及一個東西以前我的老師三 步解決的, 我現在卻完全不記得----當初我是費了好大力 氣去證的: 設 b_n≧0, Σb_n = ∞, B_n 是 Σb_n 的部分和, 則 Σ(b_n/B_n) = ∞. 設 k*a_k 不收斂到 0, 則 存在 c>0, 存在子列 k(n)*a_{k(n)}≧c, n=1,2,... 故 a_{k(n)} ≧ c/k(n), n=1,2,... 令 k(0)=0. 則 k(n) n k(j) n k(j) Σ a_i = Σ Σ a_i ≧ Σ Σ c/k(j) i=1 j=1 i=k(j-1)+1 j=1 i=k(j-1)+1 n = c Σ (k(j)-k(j-1))/k(j) j=1 令 b_n = k(n)-k(n-1), 則 B_n = k(n)↑∞, 故 Σ (k(n)-k(n-1))/k(n) = ∞ 所以 Σa_k 發散, 與假設 Σa_k 收斂矛盾. 矛盾的源頭 是因假設 k*a_k 不收斂到 0. 因此得證 k*a_k→0. -- 嗨! 你好! 祝事事如意, 天天 happy! 有統計問題? 歡迎光臨統計專業版! :) 交大資訊次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (統計與機率) 成大計中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (統計方法及學理討論區) 盈月與繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (統計：讓數字說話) 我們強調專業的統計方法、實務及學習討論, 只想要題解的就抱歉了! --

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