作者gauss760220 (章魚)
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標題Re: [分析] Cauchy 積分公式
時間Fri Apr 8 06:03:59 2011
※ 引述《rachel5566 (rachel5566)》之銘言：
: ※ 引述《gauss760220 (章魚)》之銘言：
: : 請問一下
: : f的n階導數(z=a)=n!/(2pi*i)*積分f(z)/(z-a)^(n+1)dz
: : 這個公式要怎麼證明?
: : 順便問一下路徑變形定理:
: : 這定理應該是指說:
: : 一封閉曲線C 所為區域R
: : R內有一奇點 所以要讓積分路徑變成4段
: : 即在C外圍切開一個小段(趨近零)
: : 往奇點畫直線(有去有回) 方向相反 所以此段積分為零
: : 畫一r趨近零的小圓包住此奇點
: : 改變此路徑後 新路徑便均可解析
: : 故新路徑f(z)的封閉積分為0
: : 請問是否有誤?
: : 如有 請給予補充
: : 謝謝
: 第一個問題:
: 1 f(z) ┌────┐
: f(a) = ───∮ ─── dz │ 對a微分│
: 2πi C z－a └────┘
: df 1 d┌ 1 ┐ 1 f(z)
: ─ = ───∮ f(z) dz ─│───│ = ───∮ ───── dz
: da 2πi C da└ z－a ┘ 2πi C (z－a)^2
: d df 2 f(z)
: ─ ─ = ───∮ ───── dz
: da da 2πi C (z－a)^3
: 所以
: n n! f(z)
: f (a) = ───∮ ─────── dz
: 2πi C (z－a)^(n+1)
: 第二個問題:
: 你說的沒錯，因為挖掉奇點之後，封閉迴路所包圍的區域不包含奇點，
: 所以封閉迴路積分值恆為0
對了... 不好意思再問個問題
請問一下
為何一封閉曲線C 所圍區域R
假如裡面有奇點
為何可以用路徑變形的方式去等價它?
是根據什麼原理?
謝謝
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1F：→ gauss760220:5F最愛吃這味11/12 14:49
2F：→ westwet:關我屁事11/12 14:50
3F：→ gtx:昨晚看到這新聞 馬上轉台 好噁 11/12 14:53
4F：推 oplk:蓋 11/12 14:54
5F：推 Roddick5566:五樓喜歡把臉埋在陳今佩的木瓜奶裡好香好甜 11/12 14:55
6F：→ Roddick5566:.........按陰陽 11/12 14:55
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◆ From: 140.120.231.161
7F：推 znmkhxrw :就像積1/x^0.5，從0+積到1，0那點算是他的sigularity 04/08 13:34
8F：→ znmkhxrw :所以你就積a到1，積出來的結果去取lima→0，看有收斂 04/08 13:35
9F：→ znmkhxrw :嗎，如果有，就"定義"這個積分"可積" 04/08 13:36
10F：→ znmkhxrw :所以在複變中 你取一個變形的路徑 再將此路徑逼到 04/08 13:37
11F：→ znmkhxrw :奇異點 道理相似 04/08 13:37
12F：→ znmkhxrw :如果路徑不是lim逼近 而是"確確實實"通過奇異點 04/08 13:39
13F：→ znmkhxrw :那一定不存在 像是1/x^0.5，從0積到1 不存在 04/08 13:40
14F：→ znmkhxrw :但是0+積到1就存在 所以是我們"定義"0積到1 04/08 13:40
15F：→ znmkhxrw :是等於0+到1 04/08 13:41
16F：→ znmkhxrw :確確實實不存在的理由是：用lim與sigma寫法時(定義) 04/08 13:41
17F：→ znmkhxrw :在那點的upper or lower sum就會炸掉了 04/08 13:42
18F：推 herstein :Green定理.... 04/08 17:35
19F：推 yusd24 :全純函數在封閉曲線上的積分是零 04/08 19:23