※ 引述《rachel5566 (rachel5566)》之銘言： : Find the steepest path and leading asymptotic expansion for the Fresnel : s s 1 : integrals ∫cos(x^2)dx, ∫sin(x^2)dx. Hint:Use ∫e^(isz^2)dz : 0 0 0 : 這題完全不知道該怎麼下手，請各位指點一下 : 謝謝! 大概參考了一下 Arfken, Weber - Mathematical Methods for Physicists --- Method of Steepest Descents ch7.4 符號大多都是與此書一樣. 稍微敘述此章節使用估計公式的條件 (也許會漏掉了什麼@@) 函數可以複變函數的路徑積分表達(通常路徑可以有些變動) 特別是帶有參數的函數積分 integrals ∫F(z,s)dz (介紹的是這類型∫g(z)exp(sf(z))dz ) c c 我們希望能得到當 s 很大時的積分值的行為. (統計或熱物理常用的n!) 當可以選取路徑滿足 (1)經過選取的saddle points Z0,..,Zn (2)沿著適當的路徑 --- 1.在 Zi 附近就沿著 最陡下降路徑(the path of steepest Descent) 2.saddle points附近外的 就選 Re(f(z)-f(Zi))<0 (最好能有 upper negative bound) 那當 s 很大時∫g(z)exp(sf(z))dz 積分有一個簡單公式估計 c 你提到的例子如何利用 s 1 ∫cos(x^2)dx = s∫cos((st)^2)dt ........ 0 0 1 1 1 ∫exp(isz^2)dz = ∫cos(st^2)dt + i∫sin(st^2)dt...(1) 0 0 0 f(z)=i(z^2) , f'(z)=2iz , f''(z)=2i . z=0 is a saddle point ..........................(2) α=π/2 - [arg(f''(0))]/2 = π/4 ...............(3) ( i*(t(1+i))^2 = -2t^2 !!) Re(f(0)-f(z)) = -2xy............................(4) 綜合(1)(2)(3)(4)以上結果 我們可以去選取contour C 為 扇型 (半徑為1, 角度 0～π/4) 去掉實數軸 (借用你畫過的圖 ) y ↑ │ │ ╱╲ C = C1 + C2 │ C1 ／ ↘ C2 │ ↗ ﹨ C1:the path of steepest Descent │╱ π/4 \ └──────→ x 由 Cauchy-Goursat Theorem 知道 1 ∫exp(isz^2)dz = ∫exp(isz^2)dz 0 C 當 s → ∞ ___ √2π × g(0) × exp(s*0) × exp(iα) I(s) =∫exp(isz^2)dz ～ ──────────────── C │ s * f''(0) │^(1/2) ___ = √π ( 1/√2 + i* 1/√2 ) * s^(-1/2) s 1 ∫cos(x^2)dx = s∫cos((st)^2)dt = Re (sI(s^2)) 0 0 ___ __ ～ ( √π / √2 ) 之所以答案會多 "2" 倍的原因 , 是因為估計 I(s) 計算時是算 路徑通過saddle point 的兩側 , 而在這 C 只通過一側 . 以上 , 是我想的解法 , 如有什麼問題或錯了 , 麻煩告訴我 ! --

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