※ 引述《rachel5566 (rachel5566)》之铭言： : Find the steepest path and leading asymptotic expansion for the Fresnel : s s 1 : integrals ∫cos(x^2)dx, ∫sin(x^2)dx. Hint:Use ∫e^(isz^2)dz : 0 0 0 : 这题完全不知道该怎麽下手，请各位指点一下 : 谢谢! 大概参考了一下 Arfken, Weber - Mathematical Methods for Physicists --- Method of Steepest Descents ch7.4 符号大多都是与此书一样. 稍微叙述此章节使用估计公式的条件 (也许会漏掉了什麽@@) 函数可以复变函数的路径积分表达(通常路径可以有些变动) 特别是带有参数的函数积分 integrals ∫F(z,s)dz (介绍的是这类型∫g(z)exp(sf(z))dz ) c c 我们希望能得到当 s 很大时的积分值的行为. (统计或热物理常用的n!) 当可以选取路径满足 (1)经过选取的saddle points Z0,..,Zn (2)沿着适当的路径 --- 1.在 Zi 附近就沿着 最陡下降路径(the path of steepest Descent) 2.saddle points附近外的 就选 Re(f(z)-f(Zi))<0 (最好能有 upper negative bound) 那当 s 很大时∫g(z)exp(sf(z))dz 积分有一个简单公式估计 c 你提到的例子如何利用 s 1 ∫cos(x^2)dx = s∫cos((st)^2)dt ........ 0 0 1 1 1 ∫exp(isz^2)dz = ∫cos(st^2)dt + i∫sin(st^2)dt...(1) 0 0 0 f(z)=i(z^2) , f'(z)=2iz , f''(z)=2i . z=0 is a saddle point ..........................(2) α=π/2 - [arg(f''(0))]/2 = π/4 ...............(3) ( i*(t(1+i))^2 = -2t^2 !!) Re(f(0)-f(z)) = -2xy............................(4) 综合(1)(2)(3)(4)以上结果 我们可以去选取contour C 为 扇型 (半径为1, 角度 0～π/4) 去掉实数轴 (借用你画过的图 ) y ↑ │ │ ╱╲ C = C1 + C2 │ C1 ／ ↘ C2 │ ↗ ﹨ C1:the path of steepest Descent │╱ π/4 \ └──────→ x 由 Cauchy-Goursat Theorem 知道 1 ∫exp(isz^2)dz = ∫exp(isz^2)dz 0 C 当 s → ∞ ___ √2π × g(0) × exp(s*0) × exp(iα) I(s) =∫exp(isz^2)dz ～ ──────────────── C │ s * f''(0) │^(1/2) ___ = √π ( 1/√2 + i* 1/√2 ) * s^(-1/2) s 1 ∫cos(x^2)dx = s∫cos((st)^2)dt = Re (sI(s^2)) 0 0 ___ __ ～ ( √π / √2 ) 之所以答案会多 "2" 倍的原因 , 是因为估计 I(s) 计算时是算 路径通过saddle point 的两侧 , 而在这 C 只通过一侧 . 以上 , 是我想的解法 , 如有什麽问题或错了 , 麻烦告诉我 ! --

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