作者rachel5566 (rachel5566)
看板Math
標題Re: [微積] 一題積分
時間Wed Apr 6 00:13:59 2011
※ 引述《PowerGeMOS (心灰意冷 該做的做好就好)》之銘言：
: 想請教這題積分要怎麼積??
: 我用變數變換積不出來
: ∞
: ∫ cos(X^2) dx
: 0
利用複變積分: 取以下路徑做封閉迴路積分
y
↑ L : 從原點開始延x軸 ┐
│ │
│ ╱╲ C1: 延為扇形的弧 ├ C = L + C1 + C2
│ C2 ／ ↖ C1 │
│ ↙ ﹨ C2: 延半徑回到原點 ┘
│╱ π/4 \
└──→────→ x
L
考慮積分:
∮ e^(iz^2)dz = ∫e^(ix^2)dx + ∫ e^(iz^2)dz + ∫ e^(iz^2)dz = 0 (不包含奇點)
C L C1 C2
∞
其中 ∫e^(ix^2)dx = ∫ e^(ix^2)dx
L 0
分析 ∫ e^(iz^2)dz，令 z = Re^(iθ) => dz = Rie^(iθ)dθ
C1
π/4
=> 原式 = ∫ e^[i(R^2)e^(i2θ)] Rie^(iθ)dθ
0
R→∞ π/4
= ∫ 0 dθ = 0 (對裡面那個函數取R無限大，可推得極限值0)
0
分析 ∫ e^(iz^2)dz，令 z = re^(iπ/4) => dz = e^(iπ/4)dr
C2
0
=> 原式 = ∫ e^[i(r^2)e^(iπ/2)] e^(iπ/4)dr
∞
1 1 0 1 1 －√π
= (── + i──) ∫ e^(-r^2)dr = (── + i──)───
√2 √2 ∞ √2 √2 2
所以整個迴路積分:
∞ 1 1 －√π
∮e^(iz^2)dz = ∫ e^(ix^2)dx + 0 + (── + i──)───
C 0 √2 √2 2
∞ 1 1 √π
=> ∫ e^(ix^2)dx = (── + i──)──
0 √2 √2 2
∞ ∞
= ∫ cos(x^2)dx + i∫ sin(x^2)dx
0 0
∞ √π
∴ ∫ cos(x^2)dx = ───
0 2√2
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作者 takuminauki (蚊子) 看板 Gossiping
標題 [爆卦] 蜘蛛精
時間 Sun Apr 3 01:20:09 2011
1F：推 ZMittermeyer:一群嘴砲魂，上面嘴砲的明年考台大新研啊04/03 01:40
2F：→ ZMittermeyer:考上我一人給10萬，馬的用嘴考最會，素質低落？04/03 01:41
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.211.87
3F：推 Scorpliu : 04/06 00:19
4F：推 Scorpliu :Beautiful......微積分真的好美...... 04/06 00:23
5F：推 wyob :用這方法積分符號裡面換成sin(x^2)答案也一樣對嗎? 04/06 00:37
6F：推 ERT312 :都一樣，實部對實部，虛部對虛部 04/06 00:49