作者rachel5566 (rachel5566)
看板Math
标题Re: [微积] 一题积分
时间Wed Apr 6 00:13:59 2011
※ 引述《PowerGeMOS (心灰意冷 该做的做好就好)》之铭言：
: 想请教这题积分要怎麽积??
: 我用变数变换积不出来
: ∞
: ∫ cos(X^2) dx
: 0
利用复变积分: 取以下路径做封闭回路积分
y
↑ L : 从原点开始延x轴 ┐
│ │
│ ╱╲ C1: 延为扇形的弧 ├ C = L + C1 + C2
│ C2 ／ ↖ C1 │
│ ↙ ﹨ C2: 延半径回到原点 ┘
│╱ π/4 \
└──→────→ x
L
考虑积分:
∮ e^(iz^2)dz = ∫e^(ix^2)dx + ∫ e^(iz^2)dz + ∫ e^(iz^2)dz = 0 (不包含奇点)
C L C1 C2
∞
其中 ∫e^(ix^2)dx = ∫ e^(ix^2)dx
L 0
分析 ∫ e^(iz^2)dz，令 z = Re^(iθ) => dz = Rie^(iθ)dθ
C1
π/4
=> 原式 = ∫ e^[i(R^2)e^(i2θ)] Rie^(iθ)dθ
0
R→∞ π/4
= ∫ 0 dθ = 0 (对里面那个函数取R无限大，可推得极限值0)
0
分析 ∫ e^(iz^2)dz，令 z = re^(iπ/4) => dz = e^(iπ/4)dr
C2
0
=> 原式 = ∫ e^[i(r^2)e^(iπ/2)] e^(iπ/4)dr
∞
1 1 0 1 1 －√π
= (── + i──) ∫ e^(-r^2)dr = (── + i──)───
√2 √2 ∞ √2 √2 2
所以整个回路积分:
∞ 1 1 －√π
∮e^(iz^2)dz = ∫ e^(ix^2)dx + 0 + (── + i──)───
C 0 √2 √2 2
∞ 1 1 √π
=> ∫ e^(ix^2)dx = (── + i──)──
0 √2 √2 2
∞ ∞
= ∫ cos(x^2)dx + i∫ sin(x^2)dx
0 0
∞ √π
∴ ∫ cos(x^2)dx = ───
0 2√2
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作者 takuminauki (蚊子) 看板 Gossiping
标题 [爆卦] 蜘蛛精
时间 Sun Apr 3 01:20:09 2011
1F：推 ZMittermeyer:一群嘴炮魂，上面嘴炮的明年考台大新研啊04/03 01:40
2F：→ ZMittermeyer:考上我一人给10万，马的用嘴考最会，素质低落？04/03 01:41
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.211.87
3F：推 Scorpliu : 04/06 00:19
4F：推 Scorpliu :Beautiful......微积分真的好美...... 04/06 00:23
5F：推 wyob :用这方法积分符号里面换成sin(x^2)答案也一样对吗? 04/06 00:37
6F：推 ERT312 :都一样，实部对实部，虚部对虚部 04/06 00:49