作者Sfly (topos)
看板Math
標題Re: [中學] 99省二區1-3
時間Mon Apr 4 16:52:11 2011
※ 引述《ythung (費瑪連珠)》之銘言：
: 設數列{a(n)}滿足：a(1)=a(2)=1及
: a(n+2)={[a(n+1)]^2+a(n+1)+1}/a(n), n=1,2,3,...
: 試證：數列{a(n)}中任意相鄰兩項都是互質的整數。
遞迴數列很適合賺p幣 XD
a(n+2)/a(n+1) ~ a(n+1)/a(n), 可以猜到 a(n+2)=k*a(n+1)+ ...
而前幾項為 1,1,3,13,51,..
易見其滿足 a(n+2)=5a(n+1)-a(n)-1.
假設 a(k+2)=5a(k+1)-a(k)-1 對於 k=1,2,..,n-1 成立
則 a(n+2)=[a(n+1)^2+a(n+1)+1]/a(n)
=[(5a(n)-a(n-1)-1)^2 + (5a(n)-a(n-1)-1) +1]/a(n)
=25a(n)-10a(n-1)-5 + [a(n-1)^2+a(n-1)+1]/a(n)
Note that [a(n-1)^2+a(n-1)+1]/a(n) = a(n-2),
so a(n+2)=25a(n)-10a(n-1)-5 +a(n-2)
=5(5a(n)-a(n-1)-1)-(5a(n-1)-a(n-2)-1)-1
=5a(n+1)-a(n)-1.
Therefore, {a(n)} are all integers.
Also, since a(n)|a(n+1)^2+a(n+1)+1, gcd(a(n),a(n+1))=1.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 131.215.6.212
1F：推 kusoayan :好漂亮!! 04/04 17:04
2F：推 JohnMash :推 04/04 17:22
3F：推 snew1209 :a(n)|a(n+1)^2+a(n+1)+1,why=>gcd(a(n),a(n+1))=1 04/04 19:33
4F：→ snew1209 :不太懂上面這行 04/04 19:34
5F：→ a88241050 :若gcd(a(n),a(n+1))=k,根據XX香雛髪,k|1,所以k=1 04/04 19:39
6F：推 kusoayan :香雛法XDDDDD 04/04 19:47
7F：→ kusoayan :樓上好糟糕 04/04 19:48
8F：推 ythung :請問大大如何確定a(n)是二階線性非齊次的遞迴方程？ 04/04 20:14
9F：→ ythung :a(5)應該是61 04/04 20:16
10F：推 ythung :當然先猜再用induction證就算很完整了, 我問題在於 04/04 20:24
11F：→ ythung :如何判別線性與否? 齊次與否? 04/04 20:25
12F：推 jason01012 :跟snew大有同樣的疑問 為什麼a(n)|a(n+1)^2+a(n+1)+1 04/05 02:20
13F：→ jason01012 :就能推出互質@@ 04/05 02:21
14F：→ Sfly :樓上的問題 請看5F 04/05 03:40
15F：→ Sfly :@ythung:齊不齊次沒有一定, 如果把a(n)換掉, 04/05 03:41
16F：→ Sfly :會得到 a(n+2)=5a(n+1)-5a(n-1)+a(n-2) 是齊次的 04/05 03:42
17F：推 jason01012 :嗯嗯 可以請教 XX香雛 是什麼意思嗎@@ 04/05 08:34
18F：推 ythung :謝謝Sfly大大, 5F的回答為輾轉相除 04/05 09:32
19F：→ ythung :a(n+1)^2+a(n+1)+1=qa(n)=>k|[a(n+1)+1]a(n+1)-qa(n) 04/05 09:34
20F：推 WINDHEAD :其實只要有 a_(n+2)a_n=a_(n+1)^2+xa_(n+1)+y 04/05 09:40
21F：→ WINDHEAD :和 a_1=a_2=1, 那就會有 a_(n+2)=Ga_(n+1)-a_n-x 04/05 09:40
22F：→ WINDHEAD :這裡 G = 2x+y+2 04/05 09:41