作者Sfly (topos)
看板Math
标题Re: [中学] 99省二区1-3
时间Mon Apr 4 16:52:11 2011
※ 引述《ythung (费玛连珠)》之铭言：
: 设数列{a(n)}满足：a(1)=a(2)=1及
: a(n+2)={[a(n+1)]^2+a(n+1)+1}/a(n), n=1,2,3,...
: 试证：数列{a(n)}中任意相邻两项都是互质的整数。
递回数列很适合赚p币 XD
a(n+2)/a(n+1) ~ a(n+1)/a(n), 可以猜到 a(n+2)=k*a(n+1)+ ...
而前几项为 1,1,3,13,51,..
易见其满足 a(n+2)=5a(n+1)-a(n)-1.
假设 a(k+2)=5a(k+1)-a(k)-1 对於 k=1,2,..,n-1 成立
则 a(n+2)=[a(n+1)^2+a(n+1)+1]/a(n)
=[(5a(n)-a(n-1)-1)^2 + (5a(n)-a(n-1)-1) +1]/a(n)
=25a(n)-10a(n-1)-5 + [a(n-1)^2+a(n-1)+1]/a(n)
Note that [a(n-1)^2+a(n-1)+1]/a(n) = a(n-2),
so a(n+2)=25a(n)-10a(n-1)-5 +a(n-2)
=5(5a(n)-a(n-1)-1)-(5a(n-1)-a(n-2)-1)-1
=5a(n+1)-a(n)-1.
Therefore, {a(n)} are all integers.
Also, since a(n)|a(n+1)^2+a(n+1)+1, gcd(a(n),a(n+1))=1.
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 131.215.6.212
1F：推 kusoayan :好漂亮!! 04/04 17:04
2F：推 JohnMash :推 04/04 17:22
3F：推 snew1209 :a(n)|a(n+1)^2+a(n+1)+1,why=>gcd(a(n),a(n+1))=1 04/04 19:33
4F：→ snew1209 :不太懂上面这行 04/04 19:34
5F：→ a88241050 :若gcd(a(n),a(n+1))=k,根据XX香雏髪,k|1,所以k=1 04/04 19:39
6F：推 kusoayan :香雏法XDDDDD 04/04 19:47
7F：→ kusoayan :楼上好糟糕 04/04 19:48
8F：推 ythung :请问大大如何确定a(n)是二阶线性非齐次的递回方程？ 04/04 20:14
9F：→ ythung :a(5)应该是61 04/04 20:16
10F：推 ythung :当然先猜再用induction证就算很完整了, 我问题在於 04/04 20:24
11F：→ ythung :如何判别线性与否? 齐次与否? 04/04 20:25
12F：推 jason01012 :跟snew大有同样的疑问 为什麽a(n)|a(n+1)^2+a(n+1)+1 04/05 02:20
13F：→ jason01012 :就能推出互质@@ 04/05 02:21
14F：→ Sfly :楼上的问题 请看5F 04/05 03:40
15F：→ Sfly :@ythung:齐不齐次没有一定, 如果把a(n)换掉, 04/05 03:41
16F：→ Sfly :会得到 a(n+2)=5a(n+1)-5a(n-1)+a(n-2) 是齐次的 04/05 03:42
17F：推 jason01012 :嗯嗯 可以请教 XX香雏 是什麽意思吗@@ 04/05 08:34
18F：推 ythung :谢谢Sfly大大, 5F的回答为辗转相除 04/05 09:32
19F：→ ythung :a(n+1)^2+a(n+1)+1=qa(n)=>k|[a(n+1)+1]a(n+1)-qa(n) 04/05 09:34
20F：推 WINDHEAD :其实只要有 a_(n+2)a_n=a_(n+1)^2+xa_(n+1)+y 04/05 09:40
21F：→ WINDHEAD :和 a_1=a_2=1, 那就会有 a_(n+2)=Ga_(n+1)-a_n-x 04/05 09:40
22F：→ WINDHEAD :这里 G = 2x+y+2 04/05 09:41