前輩們好，今天又要來麻煩各位了。 書上看到有關於動差母函數的定義如下： 對於具有密度函數 f (x) 之隨機變數 X 而言，若以下期望值計算存在， X 則其結果稱為 X 之動差母函數，記作M (t)。 X tX ∞ tX M (t) = E[ e ] = ∫ f (x) e dx X -∞ X 有疑問的地方是為什麼要取 e^tX 取期望值，是有什麼特別的原因嗎？ 經過微分的動作之後明白，如果取 e^tX 的話微分之後可以得到ｎ次動差 但是真的只有「e^tX這個函數的性質很特別，微分ｎ次便可以得到ｎ次動差」這個原因嗎？ 是否有其他的關係或者是歷史呢？ 在數學傳播的文章中：http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d93/9301.pdf 的第七頁中寫到了： 在機率學上，他(拉普拉斯)首先引用了「動距母函數」(moment generating function)。 令 X 為一取自然數值的隨機變數，則稱 ∞ n f (t) = Σ P( X = n ) t 為 X 的動距母函數。 n=0 同樣是動差母函數，為什麼一個是 e^tX，而另一個是 t^n 呢？ 有什麼地方不一樣的嗎？ 雖然維基百科上面是定義動差母函數就是這樣 http://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function 但是我還是想知道各位前輩的想法是如何 問了奇怪的問題，還請各位前輩們多多包含，替我指點迷津 再次感謝各位前輩們的幫助～謝謝您們～ --

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