作者Lanjaja ()
看板Math
標題Re: [線代] Hermitian矩陣
時間Wed Mar 30 09:04:15 2011
※ 引述《microball (無華之果)》之銘言：
: ※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: : 我想請教一個小證明
: : 想了很久都不知道從哪裡下手
: : Show that if A=[a_ik] is Hermitian, then for every diagonal element a_ii, there
: : exists an eigenvalue λ(A) of A such that
: : │λ(A) - a_ii │ ≦ √[ Σ(│a_ij│^2)]
: : i≠j
: : 感謝各位強者的回答~~
: 令 A* = A 的 conjugate transpose，
: 因為 A Hermitian 所以 A=A* (這不是表情符號A_A*)
: 原式右手邊的平方就是 [AA]_ii - (a_ii)(a_ii)
: 假設 A = PDP'，其中 PP'=I。 簡單計算可得 AA = PDDP'= (PD)(DP')
: 由 [AA]_ii = Σ [PD]_ij * [DP']_ji = (λ_i)^2
: j ↑應該是吧？剩下的部份加油! :{
謝謝你的解答
可是[AA]_ii好像不是(λ_i)^2
而是所有(λ_i)^2的線性組合
現在我的困難是不知道怎麼得出左邊的不等式
我目前做到
[AA]_ii - │a_ii│^2 = [(λI - A)^2]_ii - │λ - a_ii │^2
λ是A的某個特徵值
而[λ^2]_min <= [(λI - A)^2]_ii <= [λ^2]_max
但是如果λ不是λ_i
則可簡化成
0 <= [(λI - A)^2]_ii <= [λ^2]_max
但是接下來就卡住了
可以請教一下接下來有什麼發向嗎?
感謝microball還有其他板友耐心的回答
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 128.220.147.82
※ 編輯: Lanjaja 來自: 128.220.147.82 (03/30 09:21)