作者Lanjaja ()
看板Math
标题Re: [线代] Hermitian矩阵
时间Wed Mar 30 09:04:15 2011
※ 引述《microball (无华之果)》之铭言：
: ※ 引述《Lanjaja ()》之铭言：
: : 我想请教一个小证明
: : 想了很久都不知道从哪里下手
: : Show that if A=[a_ik] is Hermitian, then for every diagonal element a_ii, there
: : exists an eigenvalue λ(A) of A such that
: : │λ(A) - a_ii │ ≦ √[ Σ(│a_ij│^2)]
: : i≠j
: : 感谢各位强者的回答~~
: 令 A* = A 的 conjugate transpose，
: 因为 A Hermitian 所以 A=A* (这不是表情符号A_A*)
: 原式右手边的平方就是 [AA]_ii - (a_ii)(a_ii)
: 假设 A = PDP'，其中 PP'=I。 简单计算可得 AA = PDDP'= (PD)(DP')
: 由 [AA]_ii = Σ [PD]_ij * [DP']_ji = (λ_i)^2
: j ↑应该是吧？剩下的部份加油! :{
谢谢你的解答
可是[AA]_ii好像不是(λ_i)^2
而是所有(λ_i)^2的线性组合
现在我的困难是不知道怎麽得出左边的不等式
我目前做到
[AA]_ii - │a_ii│^2 = [(λI - A)^2]_ii - │λ - a_ii │^2
λ是A的某个特徵值
而[λ^2]_min <= [(λI - A)^2]_ii <= [λ^2]_max
但是如果λ不是λ_i
则可简化成
0 <= [(λI - A)^2]_ii <= [λ^2]_max
但是接下来就卡住了
可以请教一下接下来有什麽发向吗?
感谢microball还有其他板友耐心的回答
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※ 编辑: Lanjaja 来自: 128.220.147.82 (03/30 09:21)