※ 引述《rachel5566 (rachel5566)》之銘言： : 1. 題目是計算下面那個積分值，我的過程也寫在下面 : (a) : ∞ cosx dx ∞ e^(ix) dx : ∫ ────── = Re ∫────── : -∞ x^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 : e^(iz) dz ∞ e^(ix) dx e^(iz) dz : => ∮────── = ∫────── + ∫ ────── = 2iπa : C z^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 Cr z^2 + a^2 -1 : 路徑C是從實軸負無限大積到無限大，再由無限大繞上半圓回去(Cr,r→∞) : 而由Jordan's lemma，[1/(z^2 + a^2)]→0 當 |z|→∞，則無窮大上半圓積分值為0 : 計算residue: : e^(iz) │ e^(-a) : a = ─────│ = ──── : -1 z + ia │z=ia 2ia 這邊要注意的 因為你是在上半平面算 Residue 所以要記得要取 a>0 : 所以 : ∞ e^(ix) dx e^(-a) πe^(-a) : ∫────── = 2iπ──── = ───── : -∞ x^2 + a^2 2ia a : ∞ cosx dx ∞ e^(ix) dx πe^(-a) : ∫ ────── = Re ∫────── = ───── : -∞ x^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 a : 現在，如果將x取代成kx，那個答案應該會是: : ∞ cos(kx) dx ∞ e^(ikx) dx πe^(-ka) : ∫ ────── = Re ∫────── = ───── : -∞ x^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 a ------------------- 單看函數是偶函數 就知道 k->-k 所以積分值應該一樣 但是你用複變方法做時 你 k -> -k 答案變了! 原因出在 當k<0 函數e^(ikz) 在上半圓半徑趨於∞是發散的 所以在這情況 (k<0) 路徑必須取下半圓 算 Residue 時也要注意是 (如果規定a>0) 是要算 Res(f,-ia) πe^(-|ka|) ─────── 就應該是你最終答案 |a| : 可是Mathematica給我的答案卻是: (詳解給的答案跟我的一樣) : ∞ cos(kx) dx πcosh(ka) : ∫ ────── = ────── : -∞ x^2 + a^2 a 不要太相信軟體......參考用 Mathematica的在這的結果明顯就是(因為f(x)是偶函數) 它把你一開始答案: ∞ cos(kx) dx πe^(-ka) g(k) = ∫ ────── = ────── -∞ x^2 + a^2 a ∞ cos(-kx) dx πe^(ka) g(-k) = ∫ ────── = ────── -∞ x^2 + a^2 a g(k) = g(-k) = (g(k)+g(-k))/2..............囧 : 請問我的過程哪裡有問題? 還是有什麼細節我沒注意到的呢? : 還有第(b)小題也是類似的積分: : ∞ x sinx dx : ∫ ────── = πe^(-a) : -∞ x^2 + a^2 : 而 : ∞ x sin(kx) dx : ∫ ─────── = πe^(-ka) : -∞ x^2 + a^2 這邊也是同樣問題 Mathematica 給你答案就是 (因為sin(-kx) = -sin kx) ∞ x sin(kx) dx g(k) = ∫ ─────── = πe^(-ka) -∞ x^2 + a^2 ∞ x sin(-kx) dx g(-k) = ∫ ─────── = πe^(ka) -∞ x^2 + a^2 g(k) = -g(-k) = (g(k)-g(-k))/2..............囧 : Mathematica給我的答案，上面那個是對的，但下面的積分值卻是-πsinh(ka) --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 59.112.233.249