※ 引述《rachel5566 (rachel5566)》之铭言： : 1. 题目是计算下面那个积分值，我的过程也写在下面 : (a) : ∞ cosx dx ∞ e^(ix) dx : ∫ ────── = Re ∫────── : -∞ x^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 : e^(iz) dz ∞ e^(ix) dx e^(iz) dz : => ∮────── = ∫────── + ∫ ────── = 2iπa : C z^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 Cr z^2 + a^2 -1 : 路径C是从实轴负无限大积到无限大，再由无限大绕上半圆回去(Cr,r→∞) : 而由Jordan's lemma，[1/(z^2 + a^2)]→0 当 |z|→∞，则无穷大上半圆积分值为0 : 计算residue: : e^(iz) │ e^(-a) : a = ─────│ = ──── : -1 z + ia │z=ia 2ia 这边要注意的 因为你是在上半平面算 Residue 所以要记得要取 a>0 : 所以 : ∞ e^(ix) dx e^(-a) πe^(-a) : ∫────── = 2iπ──── = ───── : -∞ x^2 + a^2 2ia a : ∞ cosx dx ∞ e^(ix) dx πe^(-a) : ∫ ────── = Re ∫────── = ───── : -∞ x^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 a : 现在，如果将x取代成kx，那个答案应该会是: : ∞ cos(kx) dx ∞ e^(ikx) dx πe^(-ka) : ∫ ────── = Re ∫────── = ───── : -∞ x^2 + a^2 -∞ x^2 + a^2 a ------------------- 单看函数是偶函数 就知道 k->-k 所以积分值应该一样 但是你用复变方法做时 你 k -> -k 答案变了! 原因出在 当k<0 函数e^(ikz) 在上半圆半径趋於∞是发散的 所以在这情况 (k<0) 路径必须取下半圆 算 Residue 时也要注意是 (如果规定a>0) 是要算 Res(f,-ia) πe^(-|ka|) ─────── 就应该是你最终答案 |a| : 可是Mathematica给我的答案却是: (详解给的答案跟我的一样) : ∞ cos(kx) dx πcosh(ka) : ∫ ────── = ────── : -∞ x^2 + a^2 a 不要太相信软体......参考用 Mathematica的在这的结果明显就是(因为f(x)是偶函数) 它把你一开始答案: ∞ cos(kx) dx πe^(-ka) g(k) = ∫ ────── = ────── -∞ x^2 + a^2 a ∞ cos(-kx) dx πe^(ka) g(-k) = ∫ ────── = ────── -∞ x^2 + a^2 a g(k) = g(-k) = (g(k)+g(-k))/2..............囧 : 请问我的过程哪里有问题? 还是有什麽细节我没注意到的呢? : 还有第(b)小题也是类似的积分: : ∞ x sinx dx : ∫ ────── = πe^(-a) : -∞ x^2 + a^2 : 而 : ∞ x sin(kx) dx : ∫ ─────── = πe^(-ka) : -∞ x^2 + a^2 这边也是同样问题 Mathematica 给你答案就是 (因为sin(-kx) = -sin kx) ∞ x sin(kx) dx g(k) = ∫ ─────── = πe^(-ka) -∞ x^2 + a^2 ∞ x sin(-kx) dx g(-k) = ∫ ─────── = πe^(ka) -∞ x^2 + a^2 g(k) = -g(-k) = (g(k)-g(-k))/2..............囧 : Mathematica给我的答案，上面那个是对的，但下面的积分值却是-πsinh(ka) --

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