作者math1209 (人到無求品自高)
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標題Re: [微積] Lagrange multiplier 的原理
時間Tue Mar 22 01:39:00 2011
【拉格朗日乘子法】
在談論 Lagrange 乘子法之前，我們得先知道一個微積分的事實：(假定可微)
若 f 在內部點 ａ 有極值，則 ▽f(a) ＝ 0. （＊）
為了簡單，我們考慮三維度(指定義域的點 ｘ 落在 |R^3) 的世界。假設我們有一個
C^1 實值函數 f(ｘ). 我們想考慮 f(ｘ) 被限制在曲面
Ｓ＝{ｘ：g(ｘ) ＝ 0}. (曲面為 2 維度).
此處 g 也是 C^1 函數。
假設在 Ｓ 裡，有點 ａ 使得 f 在上面有極值。那麼，考慮任意通過此點的曲線，
此曲線躺在 Ｓ 上。不妨稱曲線為 ｒ(t), 且在 t ＝ 0 時通過 ａ 點。
定義函數
Φ(t) ＝ f ( ｒ(t) ).
則 Φ 在 t = 0 時，有極值。(注意到：此時的 t ＝ 0 是 Φ 定義域中的內點).
於是，根據 （＊）, 我們知道 Φ'(0) ＝ 0. 即
▽f( ｒ(0) = ａ )．ｒ'(0) ＝ 0.
如此可知 ▽f(ａ) 垂直於曲線之切向量 ｒ'(0).
故而 ▽f(ａ) 會 "平行" 於曲面在 ａ 點切平面的法向量。又 Ｓ 之切平面的法
向量為 ▽g(ｘ). 在 ａ 點則為 ▽g(ａ).
因此，▽f(ａ) // ▽g(ａ), 導致兩向量成比例關系：
▽f(ａ) ＝ λ ▽g(ａ).
NOTE. 至於更一般的情況想法類似，例如：當有兩個限制條件 (constraints) 時，
此時 (ｘ 屬於 |R^n)
Ｓ ＝ {ｘ: g_1(ｘ) ＝ g_2 (ｘ)＝ 0} (n－2 維度)
＝ Ｓ_1 ∩ Ｓ_2,
其中，Ｓ_1 ＝ {ｘ: g_1(ｘ) ＝0}, Ｓ_2 ＝ {ｘ: g_2(ｘ) ＝0}.
則根據上述的討論，我們知道 ▽f(ａ) 垂直於過 ａ 之 Ｓ 的切平面。又
▽g_1(ａ) 與 ▽g_1(ａ) 垂直於過 ａ 之 Ｓ 的切平面 (此處我們假設此
兩向量是獨立向量) 換句話說，有兩個相互獨立的向量垂直於過 ａ 之 Ｓ
的切平面。 故此兩向量的任意線性組合也必垂直於過 ａ 之 Ｓ 的切平面。
又因此切平面為 n－2 維度，因此，存在 λ_1 與 λ_2 使得
▽f(ａ) ＝ λ_1 ▽g_1(ａ) ＋ λ_2 ▽g_1(ａ).
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◆ From: 140.113.25.169
1F：推 yyc2008 :想請問一下▽f( ｒ(0) = ａ )垂直切向量 但是怎麼知 03/22 02:03
2F：→ yyc2008 :道垂直切向量的方向就一定在S面上? 因為3-D中垂直直 03/22 02:04
3F：→ yyc2008 :線的方向是落在2-D上 感謝回答 03/22 02:04
4F：→ yyc2008 :我改一下問題好了 怎麼知道▽f( ｒ(0) = ａ )有無落 03/22 02:05
5F：→ yyc2008 :落在S面上與否 03/22 02:06
7F：→ kuromu :感謝 03/22 20:42