作者math1209 (人到无求品自高)
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标题Re: [微积] Lagrange multiplier 的原理
时间Tue Mar 22 01:39:00 2011
【拉格朗日乘子法】
在谈论 Lagrange 乘子法之前，我们得先知道一个微积分的事实：(假定可微)
若 f 在内部点 ａ 有极值，则 ▽f(a) ＝ 0. （＊）
为了简单，我们考虑三维度(指定义域的点 ｘ 落在 |R^3) 的世界。假设我们有一个
C^1 实值函数 f(ｘ). 我们想考虑 f(ｘ) 被限制在曲面
Ｓ＝{ｘ：g(ｘ) ＝ 0}. (曲面为 2 维度).
此处 g 也是 C^1 函数。
假设在 Ｓ 里，有点 ａ 使得 f 在上面有极值。那麽，考虑任意通过此点的曲线，
此曲线躺在 Ｓ 上。不妨称曲线为 ｒ(t), 且在 t ＝ 0 时通过 ａ 点。
定义函数
Φ(t) ＝ f ( ｒ(t) ).
则 Φ 在 t = 0 时，有极值。(注意到：此时的 t ＝ 0 是 Φ 定义域中的内点).
於是，根据 （＊）, 我们知道 Φ'(0) ＝ 0. 即
▽f( ｒ(0) = ａ )．ｒ'(0) ＝ 0.
如此可知 ▽f(ａ) 垂直於曲线之切向量 ｒ'(0).
故而 ▽f(ａ) 会 "平行" 於曲面在 ａ 点切平面的法向量。又 Ｓ 之切平面的法
向量为 ▽g(ｘ). 在 ａ 点则为 ▽g(ａ).
因此，▽f(ａ) // ▽g(ａ), 导致两向量成比例关系：
▽f(ａ) ＝ λ ▽g(ａ).
NOTE. 至於更一般的情况想法类似，例如：当有两个限制条件 (constraints) 时，
此时 (ｘ 属於 |R^n)
Ｓ ＝ {ｘ: g_1(ｘ) ＝ g_2 (ｘ)＝ 0} (n－2 维度)
＝ Ｓ_1 ∩ Ｓ_2,
其中，Ｓ_1 ＝ {ｘ: g_1(ｘ) ＝0}, Ｓ_2 ＝ {ｘ: g_2(ｘ) ＝0}.
则根据上述的讨论，我们知道 ▽f(ａ) 垂直於过 ａ 之 Ｓ 的切平面。又
▽g_1(ａ) 与 ▽g_1(ａ) 垂直於过 ａ 之 Ｓ 的切平面 (此处我们假设此
两向量是独立向量) 换句话说，有两个相互独立的向量垂直於过 ａ 之 Ｓ
的切平面。 故此两向量的任意线性组合也必垂直於过 ａ 之 Ｓ 的切平面。
又因此切平面为 n－2 维度，因此，存在 λ_1 与 λ_2 使得
▽f(ａ) ＝ λ_1 ▽g_1(ａ) ＋ λ_2 ▽g_1(ａ).
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◆ From: 140.113.25.169
1F：推 yyc2008 :想请问一下▽f( ｒ(0) = ａ )垂直切向量 但是怎麽知 03/22 02:03
2F：→ yyc2008 :道垂直切向量的方向就一定在S面上? 因为3-D中垂直直 03/22 02:04
3F：→ yyc2008 :线的方向是落在2-D上 感谢回答 03/22 02:04
4F：→ yyc2008 :我改一下问题好了 怎麽知道▽f( ｒ(0) = ａ )有无落 03/22 02:05
5F：→ yyc2008 :落在S面上与否 03/22 02:06
7F：→ kuromu :感谢 03/22 20:42