作者yhliu (老怪物)
看板Math
標題Re: [微積] 還是斂散性的問題
時間Fri Mar 18 00:04:48 2011
※ 引述《hbkhhhdx2006 (大T)》之銘言：
: Show that the series Σ(-1)^(n-1)Bn, where Bn=1/n for n is odd and Bn=1/(n^2)
: for n is even, is divergent. Why does the Alternating Series Test not apply ?
: 正常來說 Σ(-1)^(n-1)/n^p 在p>1時收斂p<=1時發散
: 所以我覺得應該都是收斂才對吧
: 但題目是說發散不知從何下手
: 解答說不能用 Alternating Series Test 是因為Bn不是遞減函數
: 看到這我又更亂了
(1) 交錯級數收斂定理不適用, 因 Bn 不是 decreasing.
(顯然!)
(2) 原級數發散, 因其部分和無界.
n
Sn = Σ (-1)^{k-1} Bk = Σ 1/k - Σ1/k^2
k=1 k≦n, k≦n
k is odd k is even
Σ(1/k) = Rn 發散, 調和級數之部分和, 故無界.
k≦n
k odd
Σ(1/k^2) = Tn 收斂 (p 級數, p>1), 故此部分和有界.
k≦n
k even
因 Sn = Rn - Tn, Rn 無界而 Tn 有界, 故 Sn 無界.
故 Sn 發散至 ∞. 即: 原級數發散至 ∞.
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