作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [微积] 还是敛散性的问题
时间Fri Mar 18 00:04:48 2011
※ 引述《hbkhhhdx2006 (大T)》之铭言：
: Show that the series Σ(-1)^(n-1)Bn, where Bn=1/n for n is odd and Bn=1/(n^2)
: for n is even, is divergent. Why does the Alternating Series Test not apply ?
: 正常来说 Σ(-1)^(n-1)/n^p 在p>1时收敛p<=1时发散
: 所以我觉得应该都是收敛才对吧
: 但题目是说发散不知从何下手
: 解答说不能用 Alternating Series Test 是因为Bn不是递减函数
: 看到这我又更乱了
(1) 交错级数收敛定理不适用, 因 Bn 不是 decreasing.
(显然!)
(2) 原级数发散, 因其部分和无界.
n
Sn = Σ (-1)^{k-1} Bk = Σ 1/k - Σ1/k^2
k=1 k≦n, k≦n
k is odd k is even
Σ(1/k) = Rn 发散, 调和级数之部分和, 故无界.
k≦n
k odd
Σ(1/k^2) = Tn 收敛 (p 级数, p>1), 故此部分和有界.
k≦n
k even
因 Sn = Rn - Tn, Rn 无界而 Tn 有界, 故 Sn 无界.
故 Sn 发散至 ∞. 即: 原级数发散至 ∞.
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