作者JohnMash (Paul)
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標題Re: [證明] 幾題證明、排組請教大家
時間Tue Mar 15 13:01:07 2011
※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: 4.
: 有n張考卷(編號1~n)，想將考卷分為單號與雙號兩堆，
: 從第一張考卷開始，若遇到連續幾張雙號的考卷則一起抽出，放在另一堆，
: 若遇到單號則不抽出
: (1) 若n=12 求抽出總次數的期望值
: (2) 若n=4k 求抽出總次數的期望值
令 x1+x2+....+xq=p 且 x1,x2,...,xq≧1 並且為整數
解的個數為 H(p,q)
則 H(p,q)=C(p-1,q-1) (Exercise)
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設 O1,O2,....是單號的張數 且 O1+O2+...=p, Oi≧1
E1,E2,....是雙號的張數 且 E1+E2+...=p, Ei≧1
即 O1 E1 O2 E2... 表示 O1張單號 E1張雙號 O2張單號 ....
則抽出總次數為r的情形有四種情形
(1) E1 O1 E2 ....O_{r-1} Er
(2) O1 E1 O2 E2 ....Or Er
(3) E1 O1 E2 ....O_{r-1} Er Or
(4) O1 E1 O2 E2 ....Or Er O_{r+1}
第一種情形共有 H(p,r)H(p,r-1)=C(p-1,r-1)C(p-1,r-2)
第二種情形共有 H(p,r)H(p,r)=C(p-1,r-1)C(p-1,r-1)
第三種情形共有 H(p,r)H(p,r)=C(p-1,r-1)C(p-1,r-1)
第四種情形共有 H(p,r)H(p,r+1)=C(p-1,r-1)C(p-1,r)
故 共有 C(p-1,r-1)*[C(p-1,r-2)+C(p-1,r-1)+C(p-1,r-1)+C(p-1,r)]
=C(p-1,r-1)*[C(p,r-1)+C(p,r)]
=C(p-1,r-1)*C(p+1,r)
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因此 抽出總次數為 p+1-r 共有
C(p-1,p-r)*C(p+1,p+1-r)=C(p-1,r-1)*C(p+1,r)
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由以上討論可知 抽出總次數為 r
和 抽出總次數為 p+1-r 的機率相同
故期望值為 (p+1)/2
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※ 編輯: JohnMash 來自: 112.104.170.144 (03/17 20:19)