作者JohnMash (Paul)
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标题Re: [证明] 几题证明、排组请教大家
时间Tue Mar 15 13:01:07 2011
※ 引述《kusoayan (玮哥)》之铭言：
: 4.
: 有n张考卷(编号1~n)，想将考卷分为单号与双号两堆，
: 从第一张考卷开始，若遇到连续几张双号的考卷则一起抽出，放在另一堆，
: 若遇到单号则不抽出
: (1) 若n=12 求抽出总次数的期望值
: (2) 若n=4k 求抽出总次数的期望值
令 x1+x2+....+xq=p 且 x1,x2,...,xq≧1 并且为整数
解的个数为 H(p,q)
则 H(p,q)=C(p-1,q-1) (Exercise)
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设 O1,O2,....是单号的张数 且 O1+O2+...=p, Oi≧1
E1,E2,....是双号的张数 且 E1+E2+...=p, Ei≧1
即 O1 E1 O2 E2... 表示 O1张单号 E1张双号 O2张单号 ....
则抽出总次数为r的情形有四种情形
(1) E1 O1 E2 ....O_{r-1} Er
(2) O1 E1 O2 E2 ....Or Er
(3) E1 O1 E2 ....O_{r-1} Er Or
(4) O1 E1 O2 E2 ....Or Er O_{r+1}
第一种情形共有 H(p,r)H(p,r-1)=C(p-1,r-1)C(p-1,r-2)
第二种情形共有 H(p,r)H(p,r)=C(p-1,r-1)C(p-1,r-1)
第三种情形共有 H(p,r)H(p,r)=C(p-1,r-1)C(p-1,r-1)
第四种情形共有 H(p,r)H(p,r+1)=C(p-1,r-1)C(p-1,r)
故 共有 C(p-1,r-1)*[C(p-1,r-2)+C(p-1,r-1)+C(p-1,r-1)+C(p-1,r)]
=C(p-1,r-1)*[C(p,r-1)+C(p,r)]
=C(p-1,r-1)*C(p+1,r)
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因此 抽出总次数为 p+1-r 共有
C(p-1,p-r)*C(p+1,p+1-r)=C(p-1,r-1)*C(p+1,r)
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由以上讨论可知 抽出总次数为 r
和 抽出总次数为 p+1-r 的机率相同
故期望值为 (p+1)/2
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