作者KJLP (PWKJ)
看板Math
標題[分析] 多變函數的可微性
時間Wed Feb 2 01:39:09 2011
(x^2)(y^3)
f(x,y) = ------------- , if (x,y)≠(0,0)
x^4 + y^4
= 0 , if (x,y)=(0,0)
Is f differentiable at (0,0)?
我的想法有
1.若f不可微則f不連續，因此我想設法找出兩路徑使得f沿著路徑逼出來的值不唯一
不過乍看之下這方法好像看不出f是不連續的
2.假設f可微，則total derivative T_0(u)跟方向導數f'(0;u)會一樣
f(0+u)-f(0)-f'(0;u)
以此去出發去看極限lim --------------------- 會不會不等於0
u→0 ∥u∥
若極限不等於0則矛盾，進而可以推得f不可微
不過試了兩個direction發現極限都等於0，所以好像又不是從這點去看
有請板友能再給我指點指點@@ 感謝!!
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◆ From: 111.248.0.100
1F：推 ilovecs34 :1. f(x)=|x| 在0點可微 但連續 02/02 01:53
2F：→ ilovecs34 :在0點不可微 打錯= = 02/02 01:54
3F：→ KJLP :這我知道 我問的不是這個@@ 我是問多變量函數Q_Q 02/02 01:55
4F：→ KJLP :因為多變數函數可微 代表全導數存在且等於方向導數 02/02 01:56
5F：→ ilovecs34 :我都會先看連續 再寫出Df(x) 然後再用微分定義 02/02 01:56
6F：→ KJLP :並且保證連續性 這題目問f可不可微我先猜想他不可微 02/02 01:56
7F：→ KJLP :嗯 不過連續性這點似乎得步道f非連續 02/02 01:57
8F：→ KJLP :上面我從連續性 還有方向導數、全導數 似乎都看不出 02/02 01:58
9F：→ KJLP :難道真的要從存在一個線性轉換T_0(v)那邊出發嗎@@? 02/02 01:59
10F：→ ilovecs34 :你用lim(x,mx)->(0,0)看看吧 通常可以看出不可微@@ 02/02 01:59
11F：→ KJLP :感覺這樣好像不好做? 02/02 01:59
12F：→ ilovecs34 :我現在再做一次看看 我通常都這樣做= =a 02/02 02:00
13F：→ KJLP :恩這個我第一時間就是過這路徑 看不出不連續@@ 02/02 02:00
14F：→ KJLP :會得到(m^3)x/(1+m^4) 但x往0逼去 因此這極限依然0 02/02 02:02
15F：→ ilovecs34 :婀 有做出來= = 02/02 02:03
16F：→ ilovecs34 :你用微分定義lim(h1,h2)->(0,0) f(h1,h2)/||h|| 02/02 02:04
17F：→ ilovecs34 :接著帶h2=mh1 會發現極限不存在 這是我的拙見 囧 02/02 02:05
18F：→ ilovecs34 :因為Df(x)=(0,0) f(0,0)=0 所以我就沒寫了= = 02/02 02:06
19F：→ ilovecs34 :||h||=((h1)^2+(h2)^2)^(1/2) 02/02 02:07
20F：→ KJLP :Df(0,0)=(0,0)?? 不是應該減一個(T_0)(h)嗎@@? 02/02 02:18
21F：→ ilovecs34 :lim ||f(x)-f(x0)-Df(x)(x-x0)||/||x-x0||=0 @@? 02/02 02:22
22F：→ ilovecs34 :x, x0 屬於 R^(n) 02/02 02:23
23F：→ KJLP :對 要存在線性Df(x-x0)讓上面這個極限=0 02/02 02:24
24F：→ KJLP :可是我們就是要驗證存在Df(x)(x-x0) 02/02 02:25
25F：→ KJLP :說錯 要驗證存在Df(x) 讓上面的極限=0 所以Df是未知 02/02 02:26
26F：→ KJLP :如果直接寫出Df(x)好像就間接默認f可微了 @@ 02/02 02:27
27F：→ ilovecs34 :Df(x)=(df/dx(0,0) df/dy(0,0)) 02/02 02:28
28F：→ ilovecs34 :Df(x)只是表是偏微 婀... 02/02 02:29
29F：→ KJLP :要f可微 全導數才能寫成偏微的樣子 定義寫的是全導數 02/02 02:31
30F：→ KJLP :不是偏微的樣子 02/02 02:31
31F：→ KJLP :所以如果把定義全導數的位置改成gradient而得到極限 02/02 02:33
32F：→ KJLP :=0 也不能說f在該處可微吧 02/02 02:33
33F：→ KJLP :如果可以 就代表了你用了全導數=gradient 也就默認f 02/02 02:34
34F：→ KJLP :可微了@@ 02/02 02:34
35F：→ KJLP :這樣變成你一開始就說f可微 但這是我們要證明的 02/02 02:35
36F：→ KJLP :apostol高微是這樣寫的 不過或許我想法還是有錯誤qq 02/02 02:36
37F：→ ilovecs34 :我可能還要再想想了QQ 02/02 02:38
38F：→ KJLP :嗯 細屑你跟我討論:) 我也再去想想 02/02 02:38
39F：→ KJLP : 謝謝 02/02 02:38
40F：→ ilovecs34 :也謝謝你點出我的問題QQy 02/02 02:40