作者KJLP (PWKJ)
看板Math
标题[分析] 多变函数的可微性
时间Wed Feb 2 01:39:09 2011
(x^2)(y^3)
f(x,y) = ------------- , if (x,y)≠(0,0)
x^4 + y^4
= 0 , if (x,y)=(0,0)
Is f differentiable at (0,0)?
我的想法有
1.若f不可微则f不连续，因此我想设法找出两路径使得f沿着路径逼出来的值不唯一
不过乍看之下这方法好像看不出f是不连续的
2.假设f可微，则total derivative T_0(u)跟方向导数f'(0;u)会一样
f(0+u)-f(0)-f'(0;u)
以此去出发去看极限lim --------------------- 会不会不等於0
u→0 ∥u∥
若极限不等於0则矛盾，进而可以推得f不可微
不过试了两个direction发现极限都等於0，所以好像又不是从这点去看
有请板友能再给我指点指点@@ 感谢!!
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◆ From: 111.248.0.100
1F：推 ilovecs34 :1. f(x)=|x| 在0点可微 但连续 02/02 01:53
2F：→ ilovecs34 :在0点不可微 打错= = 02/02 01:54
3F：→ KJLP :这我知道 我问的不是这个@@ 我是问多变量函数Q_Q 02/02 01:55
4F：→ KJLP :因为多变数函数可微 代表全导数存在且等於方向导数 02/02 01:56
5F：→ ilovecs34 :我都会先看连续 再写出Df(x) 然後再用微分定义 02/02 01:56
6F：→ KJLP :并且保证连续性 这题目问f可不可微我先猜想他不可微 02/02 01:56
7F：→ KJLP :嗯 不过连续性这点似乎得步道f非连续 02/02 01:57
8F：→ KJLP :上面我从连续性 还有方向导数、全导数 似乎都看不出 02/02 01:58
9F：→ KJLP :难道真的要从存在一个线性转换T_0(v)那边出发吗@@? 02/02 01:59
10F：→ ilovecs34 :你用lim(x,mx)->(0,0)看看吧 通常可以看出不可微@@ 02/02 01:59
11F：→ KJLP :感觉这样好像不好做? 02/02 01:59
12F：→ ilovecs34 :我现在再做一次看看 我通常都这样做= =a 02/02 02:00
13F：→ KJLP :恩这个我第一时间就是过这路径 看不出不连续@@ 02/02 02:00
14F：→ KJLP :会得到(m^3)x/(1+m^4) 但x往0逼去 因此这极限依然0 02/02 02:02
15F：→ ilovecs34 :婀 有做出来= = 02/02 02:03
16F：→ ilovecs34 :你用微分定义lim(h1,h2)->(0,0) f(h1,h2)/||h|| 02/02 02:04
17F：→ ilovecs34 :接着带h2=mh1 会发现极限不存在 这是我的拙见 囧 02/02 02:05
18F：→ ilovecs34 :因为Df(x)=(0,0) f(0,0)=0 所以我就没写了= = 02/02 02:06
19F：→ ilovecs34 :||h||=((h1)^2+(h2)^2)^(1/2) 02/02 02:07
20F：→ KJLP :Df(0,0)=(0,0)?? 不是应该减一个(T_0)(h)吗@@? 02/02 02:18
21F：→ ilovecs34 :lim ||f(x)-f(x0)-Df(x)(x-x0)||/||x-x0||=0 @@? 02/02 02:22
22F：→ ilovecs34 :x, x0 属於 R^(n) 02/02 02:23
23F：→ KJLP :对 要存在线性Df(x-x0)让上面这个极限=0 02/02 02:24
24F：→ KJLP :可是我们就是要验证存在Df(x)(x-x0) 02/02 02:25
25F：→ KJLP :说错 要验证存在Df(x) 让上面的极限=0 所以Df是未知 02/02 02:26
26F：→ KJLP :如果直接写出Df(x)好像就间接默认f可微了 @@ 02/02 02:27
27F：→ ilovecs34 :Df(x)=(df/dx(0,0) df/dy(0,0)) 02/02 02:28
28F：→ ilovecs34 :Df(x)只是表是偏微 婀... 02/02 02:29
29F：→ KJLP :要f可微 全导数才能写成偏微的样子 定义写的是全导数 02/02 02:31
30F：→ KJLP :不是偏微的样子 02/02 02:31
31F：→ KJLP :所以如果把定义全导数的位置改成gradient而得到极限 02/02 02:33
32F：→ KJLP :=0 也不能说f在该处可微吧 02/02 02:33
33F：→ KJLP :如果可以 就代表了你用了全导数=gradient 也就默认f 02/02 02:34
34F：→ KJLP :可微了@@ 02/02 02:34
35F：→ KJLP :这样变成你一开始就说f可微 但这是我们要证明的 02/02 02:35
36F：→ KJLP :apostol高微是这样写的 不过或许我想法还是有错误qq 02/02 02:36
37F：→ ilovecs34 :我可能还要再想想了QQ 02/02 02:38
38F：→ KJLP :嗯 细屑你跟我讨论:) 我也再去想想 02/02 02:38
39F：→ KJLP : 谢谢 02/02 02:38
40F：→ ilovecs34 :也谢谢你点出我的问题QQy 02/02 02:40