作者yclinpa (薇楷的爹)
看板Math
標題Re: [微積] 我最不會算這種重積分了...
時間Thu Jan 6 11:44:31 2011
※ 引述《bineapple (パイナップル)》之銘言：
: 這是日本京都大學的研究所入學考題之一
: ∫∫√(a^2-x^2-xy-y^2)dxdy
: D
: D={(x,y) | x^2+xy+y^2 <= a^2}, a>0
: 應該要用變數代換吧
: 可是我又不知該怎麼找出那個u和v
: 有人可以提示一下嗎?? 謝謝~
令 u = (x-y)/√2, v = (x+y)/ √2 (orthogonal transformation)
則 dx dy = du dv,
x^2 + xy + y^2 = (1/2) u^2 + (3/2) v^2
(這裡用的是 bilinear form 的對角化)
再令 u = √2 * r * cos t, v = √2/√3 * r * sin t
此時 du dv = 2/√3 r dr dt (直接算 Jacobian)
原積分成為
2π a
∫ ∫ √(a^2 - r^2) * 2 / √3 * r dr dt = (4 √3)/9 * π * a^3. Done.
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威探闖通關 羅傑兔寶寶
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◆ From: 140.122.140.53
1F：推 bineapple :十分感謝!! 想請問是知道要用這組u和v的呢?? 01/06 11:54
2F：推 ppia :積分的區域是個橢圓內部.第一次座標變換就是把 01/06 12:12
3F：→ ppia :兩軸旋轉到長短軸 第二次座標變換就是伸縮長短軸 01/06 12:13
4F：→ ppia :把橢圓變成圓 最後再用極座標 01/06 12:13
5F：推 bineapple :原來如此 要從integrand和domain來判斷 THX!! 01/06 12:21
6F：推 newversion :orthogonal transformation 沒學過，哪本微積分書有 01/06 17:54
7F：→ newversion :介紹？ 01/06 17:54
8F：→ yclinpa :線性代數的東西，請看 bilinear form 那邊 01/06 19:43
9F：推 newversion :以為初微有教 ，查wiki也是查到線代 01/06 20:05
10F：推 jimmy780331 :原PO教授大推))))))))))))))))))))) 01/07 10:46