作者yclinpa (薇楷的爹)
看板Math
标题Re: [微积] 我最不会算这种重积分了...
时间Thu Jan 6 11:44:31 2011
※ 引述《bineapple (パイナップル)》之铭言：
: 这是日本京都大学的研究所入学考题之一
: ∫∫√(a^2-x^2-xy-y^2)dxdy
: D
: D={(x,y) | x^2+xy+y^2 <= a^2}, a>0
: 应该要用变数代换吧
: 可是我又不知该怎麽找出那个u和v
: 有人可以提示一下吗?? 谢谢~
令 u = (x-y)/√2, v = (x+y)/ √2 (orthogonal transformation)
则 dx dy = du dv,
x^2 + xy + y^2 = (1/2) u^2 + (3/2) v^2
(这里用的是 bilinear form 的对角化)
再令 u = √2 * r * cos t, v = √2/√3 * r * sin t
此时 du dv = 2/√3 r dr dt (直接算 Jacobian)
原积分成为
2π a
∫ ∫ √(a^2 - r^2) * 2 / √3 * r dr dt = (4 √3)/9 * π * a^3. Done.
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威探闯通关 罗杰兔宝宝
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.122.140.53
1F：推 bineapple :十分感谢!! 想请问是知道要用这组u和v的呢?? 01/06 11:54
2F：推 ppia :积分的区域是个椭圆内部.第一次座标变换就是把 01/06 12:12
3F：→ ppia :两轴旋转到长短轴 第二次座标变换就是伸缩长短轴 01/06 12:13
4F：→ ppia :把椭圆变成圆 最後再用极座标 01/06 12:13
5F：推 bineapple :原来如此 要从integrand和domain来判断 THX!! 01/06 12:21
6F：推 newversion :orthogonal transformation 没学过，哪本微积分书有 01/06 17:54
7F：→ newversion :介绍？ 01/06 17:54
8F：→ yclinpa :线性代数的东西，请看 bilinear form 那边 01/06 19:43
9F：推 newversion :以为初微有教 ，查wiki也是查到线代 01/06 20:05
10F：推 jimmy780331 :原PO教授大推))))))))))))))))))))) 01/07 10:46