作者xcycl (XOO)
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標題Re: [代數] 請問well-defined是在?
時間Tue Jan 4 03:39:54 2011
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.135.42.132
1F：推 APM99 :你知道什麼是well-defined嗎? 01/01 22:29
2F：推 czk0622 :據說沒有well-define啥都別談了 01/01 23:28
3F：推 a88241050 :你一定沒有用過yahoo奇摩字典 01/01 23:33
4F：→ WINDHEAD :比方說妳有一個函數 f: Q->Q , f(a/b)=a+b 01/01 23:49
5F：→ WINDHEAD :就不是 well-defined 01/01 23:49
6F：推 cacud :if x=y, then f(x)=f(y) ? 01/02 01:10
7F：推 APM99 :簡單講就是不能一對多 01/02 11:49
8F：推 bineapple :同樣的前提下不能產生兩種互相矛盾的結果 01/02 11:56
9F：推 gogoivan :函數的定義不能因為自變數表示法的不同而得到不同的 01/02 13:28
10F：→ gogoivan :函數值,就像四樓講的一樣 01/02 13:28
這問題很基本，但通常講得很模糊。
推文提到了「表示法」已經很接近了，當我們寫 a/b 其實意指
所有與 a/b 相等的有理數，而不僅是 (a, b) 的一個數對，
習慣上用 a/b 代表 [(a,b)] = {(p, q) \in Z x (Z - {0}) | qa = pb}
而 a/b 是這個有理數的其中一個表示法。
因此底下這函數
f( a / b ) = a + b
並不是一個定義在有理數的函數，而是定義在 Z x (Z - {0}) 上的函數，
若我們要將此一函數看作有理數的函數，必須要檢驗 f 是否將 [(a, b)]
對應到同一個元素。
這步就是 well-definedness 證明在做的事情，檢驗所有等價類內元素，
是否都對應到同個元素。也就是說，給定在 X 上的等價關係 ~ , 以及 f : X --> Y
證明「若 a ~ b, 則 f(a) = f(b)」。若這件事情成立，
自然可以把 f 看作是定義在 X/~ 上的函數。
若要嚴格區分的話，其實應該區分定義在 X/~ 跟 X 上的函數，但習慣上用同一個符號。
（底下可忽略）
用箭頭語言來看，令 q 為 X 到 X/~ 的 canonical projection, 也就是 q(x) = [x]
以及 \pi_1, \pi_2 : ~ --> X 將 (x, y) \in ~ 分別投影到 x 跟 y,
則 q 是 \pi_1, \pi_2 的 coequaliser。
證明 well-defindness 就是檢驗 f . \pi_1 = f . \pi_2 這件事情，
把 f : X --> Y 看作 X/~ 上的函數，是把 mediating morphism f' : X/~ --> Y 跟 f
看成一樣。
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我不認為「定義一個函數 f ，再證明他是 well-defined」這件事情是邏輯正確的，
要嘛先定義一個 relation 再證明 functional,
要嘛說函數的定義域是 X 而不是 X/~。
（這篇其實是抱怨文）
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◆ From: 78.109.182.40
11F：推 calvin4 :x大最近好文連發。感謝您的貢獻！ 01/04 03:58
※ 編輯: xcycl 來自: 78.109.182.40 (01/04 04:52)
12F：推 hcsoso :抱怨文XD 01/04 09:17
※ 編輯: xcycl 來自: 78.109.182.40 (01/04 11:03)
13F：→ ntust661 :XD 01/04 17:58