作者xcycl (XOO)
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标题Re: [代数] 请问well-defined是在?
时间Tue Jan 4 03:39:54 2011
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.135.42.132
1F：推 APM99 :你知道什麽是well-defined吗? 01/01 22:29
2F：推 czk0622 :据说没有well-define啥都别谈了 01/01 23:28
3F：推 a88241050 :你一定没有用过yahoo奇摩字典 01/01 23:33
4F：→ WINDHEAD :比方说你有一个函数 f: Q->Q , f(a/b)=a+b 01/01 23:49
5F：→ WINDHEAD :就不是 well-defined 01/01 23:49
6F：推 cacud :if x=y, then f(x)=f(y) ? 01/02 01:10
7F：推 APM99 :简单讲就是不能一对多 01/02 11:49
8F：推 bineapple :同样的前提下不能产生两种互相矛盾的结果 01/02 11:56
9F：推 gogoivan :函数的定义不能因为自变数表示法的不同而得到不同的 01/02 13:28
10F：→ gogoivan :函数值,就像四楼讲的一样 01/02 13:28
这问题很基本，但通常讲得很模糊。
推文提到了「表示法」已经很接近了，当我们写 a/b 其实意指
所有与 a/b 相等的有理数，而不仅是 (a, b) 的一个数对，
习惯上用 a/b 代表 [(a,b)] = {(p, q) \in Z x (Z - {0}) | qa = pb}
而 a/b 是这个有理数的其中一个表示法。
因此底下这函数
f( a / b ) = a + b
并不是一个定义在有理数的函数，而是定义在 Z x (Z - {0}) 上的函数，
若我们要将此一函数看作有理数的函数，必须要检验 f 是否将 [(a, b)]
对应到同一个元素。
这步就是 well-definedness 证明在做的事情，检验所有等价类内元素，
是否都对应到同个元素。也就是说，给定在 X 上的等价关系 ~ , 以及 f : X --> Y
证明「若 a ~ b, 则 f(a) = f(b)」。若这件事情成立，
自然可以把 f 看作是定义在 X/~ 上的函数。
若要严格区分的话，其实应该区分定义在 X/~ 跟 X 上的函数，但习惯上用同一个符号。
（底下可忽略）
用箭头语言来看，令 q 为 X 到 X/~ 的 canonical projection, 也就是 q(x) = [x]
以及 \pi_1, \pi_2 : ~ --> X 将 (x, y) \in ~ 分别投影到 x 跟 y,
则 q 是 \pi_1, \pi_2 的 coequaliser。
证明 well-defindness 就是检验 f . \pi_1 = f . \pi_2 这件事情，
把 f : X --> Y 看作 X/~ 上的函数，是把 mediating morphism f' : X/~ --> Y 跟 f
看成一样。
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我不认为「定义一个函数 f ，再证明他是 well-defined」这件事情是逻辑正确的，
要嘛先定义一个 relation 再证明 functional,
要嘛说函数的定义域是 X 而不是 X/~。
（这篇其实是抱怨文）
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 78.109.182.40
11F：推 calvin4 :x大最近好文连发。感谢您的贡献！ 01/04 03:58
※ 编辑: xcycl 来自: 78.109.182.40 (01/04 04:52)
12F：推 hcsoso :抱怨文XD 01/04 09:17
※ 编辑: xcycl 来自: 78.109.182.40 (01/04 11:03)
13F：→ ntust661 :XD 01/04 17:58