作者secjmy (大雄)
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標題Re: [中學] 0^(1/2) 與 (-1)^(1/2) 無意義的理由？
時間Mon Jan 3 22:38:33 2011
※ 引述《iddee (人生失敗組)》之銘言：
: 作了一份台南女中高一上的期末考卷，
: 其中填空題有兩題是：
: 0^(1/2) = ________
: (-1)^(1/2) = ________ (ps. 另一格的 √(-1) 答案就是 i 了)
: 若無意義請打 X，兩格都是 X。
: 請問這是高中數學課本上的定義嗎？(手上無書)
: 因為我只記得只有 0^0 才規定成無意義。
: 還是有其他邏輯上的理由呢？(想問說為啥 0^(1/2) 不能填 0)
我對第二題的想法是這樣，請各位看看有沒有問題
(-1)^(1/2)的話，我會把-1看成cos(π+2kπ)+isin(π+2kπ)，k=0 or 1
所以(-1)^(1/2)
=cos((π+2kπ)/2)+isin((π+2kπ)/2)
=cos(π/2)+isin(π/2) or cos(3π/2)+isin(3π/2)
=i or -i
等等...我寫完才發現我是在求-1的平方根
所以順便問一下，對於正實數的1/2次方一般是取正的(例如4^(1/2)=2)
那負實數的1/2次方呢? 是跟√的定義一樣取虛部為正嗎?
總覺得兩題都說無意義還是有點怪怪的，因為我覺得兩題都有定義
但是該如何定義非正實數的1/2次方?
請各位幫我看看，謝謝
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.32.118.196
1F：推 ArzasV :指數為分數, 底數要恆正 01/03 23:06
2F：推 newversion :-1 = (-1)^1 = (-1)^(2* 1/2) = ((-1)^2)^(1/2) = 01/03 23:27
3F：→ newversion :1^(1/2) = 1 01/03 23:28
4F：→ newversion :以上例子說明 ^(1/2) 不能只取正 01/03 23:28
5F：推 cacud :就是因為不唯一囉~ 所以要有限制 01/03 23:51
6F：→ theoculus :分數指數律就是為了避免上述情形,才規定底數非負.... 01/03 23:53
7F：推 jacky7987 :看到這個腦中都是複變= = 01/04 00:23
真的耶...剛剛去翻課本，在討論整數指數的時候，底數可以為負
但是一討論到指數為有理數或實數之後，底數就不討論負數了
謝謝各位的解說
※ 編輯: secjmy 來自: 114.32.118.196 (01/04 00:57)
8F：推 Jolinfuns :我怎麼覺得1樓的說法沒有直接說明到題目？ 01/04 01:02
9F：→ Jolinfuns :雖然觀念上是一樣的 01/04 01:03
10F：→ Jolinfuns :(-1)^(1/2) = (-1)^(2/4) = ((-1)^2)^(1/4) 01/04 01:04
11F：→ Jolinfuns := 1^(1/4) = 1 為實數 01/04 01:07
12F：→ Jolinfuns :而(-1)^(1/2)為根號-1 為i 是虛數 矛盾 01/04 01:08
13F：推 Jolinfuns :該是虛數的東西經過指數律運算以後變成實數 矛盾 01/04 01:11
14F：推 ArzasV :(-1)^(1/2)直接就無意義了, 不會與根號-1相等 01/04 01:29
15F：→ ArzasV :也不會變成虛數單位i 01/04 01:29
16F：→ ArzasV :我講的指數為分數, 底數要恆正是規定 01/04 01:30
17F：→ ArzasV :所以第一小題跟第二小題以0跟-1為底數都是違反規定 01/04 01:30
18F：→ ArzasV :但是另外一題根號-1 就是你我熟悉的虛數單位i了 01/04 01:31
19F：→ ArzasV :違反規定的那兩小題有看過規定定義的一看到就打x 01/04 01:32
20F：→ ArzasV :至於為何要這樣規定, 高中比較好的講解方法就是new大 01/04 01:34
21F：→ ArzasV :跟您所提供的-1=1這個式子 01/04 01:34
22F：推 ArzasV :不過Jolin大好像把-1=1為實數當做正確的繼續往下說明 01/04 01:41
23F：推 newversion :1^(1/4) = -1 or 1 or -i or i 01/04 13:40
謝謝以上各位的解說
關於(-1)^(1/2)無意義的原因我比較了解了
我比較不了解為什麼0^(1/2)沒有意義?
所以我想請問應該用什麼方法來解釋0^(1/2)無意義
※ 編輯: secjmy 來自: 114.32.118.196 (01/04 20:13)
24F：推 ArzasV :在指數從自然數擴大到整數時, 底數0就已經出局了 01/04 22:35
25F：→ ArzasV :所以從整數再擴大到有理數時, 底數當然也沒有0 01/04 22:36
0^(-1)=(0^1)/(0^2)=0/0=無意義
是像這樣子嗎?
※ 編輯: secjmy 來自: 114.32.118.196 (01/04 23:31)
26F：推 ArzasV :0^(-1)=0^1再取倒數, 所以無意義 01/05 00:18
27F：推 newversion :0^n = 0 , when n>0 , when n<0 0^n=undefined 01/05 02:14
28F：→ aleyukimo :高中數學課本裡 似乎沒有寫"a^(1/2)無意義 a<=0時" 01/07 19:46
29F：→ aleyukimo :定義是寫 a>0時 √a=a^(1/2) 01/07 20:00