作者secjmy (大雄)
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标题Re: [中学] 0^(1/2) 与 (-1)^(1/2) 无意义的理由？
时间Mon Jan 3 22:38:33 2011
※ 引述《iddee (人生失败组)》之铭言：
: 作了一份台南女中高一上的期末考卷，
: 其中填空题有两题是：
: 0^(1/2) = ________
: (-1)^(1/2) = ________ (ps. 另一格的 √(-1) 答案就是 i 了)
: 若无意义请打 X，两格都是 X。
: 请问这是高中数学课本上的定义吗？(手上无书)
: 因为我只记得只有 0^0 才规定成无意义。
: 还是有其他逻辑上的理由呢？(想问说为啥 0^(1/2) 不能填 0)
我对第二题的想法是这样，请各位看看有没有问题
(-1)^(1/2)的话，我会把-1看成cos(π+2kπ)+isin(π+2kπ)，k=0 or 1
所以(-1)^(1/2)
=cos((π+2kπ)/2)+isin((π+2kπ)/2)
=cos(π/2)+isin(π/2) or cos(3π/2)+isin(3π/2)
=i or -i
等等...我写完才发现我是在求-1的平方根
所以顺便问一下，对於正实数的1/2次方一般是取正的(例如4^(1/2)=2)
那负实数的1/2次方呢? 是跟√的定义一样取虚部为正吗?
总觉得两题都说无意义还是有点怪怪的，因为我觉得两题都有定义
但是该如何定义非正实数的1/2次方?
请各位帮我看看，谢谢
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 114.32.118.196
1F：推 ArzasV :指数为分数, 底数要恒正 01/03 23:06
2F：推 newversion :-1 = (-1)^1 = (-1)^(2* 1/2) = ((-1)^2)^(1/2) = 01/03 23:27
3F：→ newversion :1^(1/2) = 1 01/03 23:28
4F：→ newversion :以上例子说明 ^(1/2) 不能只取正 01/03 23:28
5F：推 cacud :就是因为不唯一罗~ 所以要有限制 01/03 23:51
6F：→ theoculus :分数指数律就是为了避免上述情形,才规定底数非负.... 01/03 23:53
7F：推 jacky7987 :看到这个脑中都是复变= = 01/04 00:23
真的耶...刚刚去翻课本，在讨论整数指数的时候，底数可以为负
但是一讨论到指数为有理数或实数之後，底数就不讨论负数了
谢谢各位的解说
※ 编辑: secjmy 来自: 114.32.118.196 (01/04 00:57)
8F：推 Jolinfuns :我怎麽觉得1楼的说法没有直接说明到题目？ 01/04 01:02
9F：→ Jolinfuns :虽然观念上是一样的 01/04 01:03
10F：→ Jolinfuns :(-1)^(1/2) = (-1)^(2/4) = ((-1)^2)^(1/4) 01/04 01:04
11F：→ Jolinfuns := 1^(1/4) = 1 为实数 01/04 01:07
12F：→ Jolinfuns :而(-1)^(1/2)为根号-1 为i 是虚数 矛盾 01/04 01:08
13F：推 Jolinfuns :该是虚数的东西经过指数律运算以後变成实数 矛盾 01/04 01:11
14F：推 ArzasV :(-1)^(1/2)直接就无意义了, 不会与根号-1相等 01/04 01:29
15F：→ ArzasV :也不会变成虚数单位i 01/04 01:29
16F：→ ArzasV :我讲的指数为分数, 底数要恒正是规定 01/04 01:30
17F：→ ArzasV :所以第一小题跟第二小题以0跟-1为底数都是违反规定 01/04 01:30
18F：→ ArzasV :但是另外一题根号-1 就是你我熟悉的虚数单位i了 01/04 01:31
19F：→ ArzasV :违反规定的那两小题有看过规定定义的一看到就打x 01/04 01:32
20F：→ ArzasV :至於为何要这样规定, 高中比较好的讲解方法就是new大 01/04 01:34
21F：→ ArzasV :跟您所提供的-1=1这个式子 01/04 01:34
22F：推 ArzasV :不过Jolin大好像把-1=1为实数当做正确的继续往下说明 01/04 01:41
23F：推 newversion :1^(1/4) = -1 or 1 or -i or i 01/04 13:40
谢谢以上各位的解说
关於(-1)^(1/2)无意义的原因我比较了解了
我比较不了解为什麽0^(1/2)没有意义?
所以我想请问应该用什麽方法来解释0^(1/2)无意义
※ 编辑: secjmy 来自: 114.32.118.196 (01/04 20:13)
24F：推 ArzasV :在指数从自然数扩大到整数时, 底数0就已经出局了 01/04 22:35
25F：→ ArzasV :所以从整数再扩大到有理数时, 底数当然也没有0 01/04 22:36
0^(-1)=(0^1)/(0^2)=0/0=无意义
是像这样子吗?
※ 编辑: secjmy 来自: 114.32.118.196 (01/04 23:31)
26F：推 ArzasV :0^(-1)=0^1再取倒数, 所以无意义 01/05 00:18
27F：推 newversion :0^n = 0 , when n>0 , when n<0 0^n=undefined 01/05 02:14
28F：→ aleyukimo :高中数学课本里 似乎没有写"a^(1/2)无意义 a<=0时" 01/07 19:46
29F：→ aleyukimo :定义是写 a>0时 √a=a^(1/2) 01/07 20:00